Question

线性代数难题

线性代数难题
1,已知A、B为n阶方阵,P、Q为可逆方阵,
若B=AQ,则A的列向量组与B的列向量组等价?
怎么推得?
2,已知A、B为满足AB=0的任意非零矩阵,则A和B的转置的列向量均线性相关?怎么推得?

Answer 1

设B=(β1,β2…βn) A=(α1,α2…αn) Q的第i列向量为（a1i,a2i,…,ani)
由B=AQ可得B的第i列向量βi=α1*a1i+α2*a2i+…+αn*ani
这就表明βi可以被αi线性表示,也就是A的列向量可以被B的列向量线性表示
由于Q可逆,所以A=BQ^-1
同理可得αi可以被βi线性表示
即B的列向量和A的列向量可以互相线性表示,则A的列向量组与B的列向量组等价.
2.设A为m*n矩阵,B为n*s矩阵B=(β1,β2…βs)
由AB=0可得(Aβ1,Aβ2…Aβs)=(0,0…0）即Aβi=0,由于B≠0
∴至少有一个βi≠0,即AX=0有非零解 ∴r(A)＜n（n为列向量个数,也是解得个数）∴A的列向量线性相关