Question

D．（选修4-5：不等式选讲）设a1，a2，…an 都是正数，且 a1•a2…a...

D．（选修4-5：不等式选讲） 设a1，a2，…an 都是正数，且 a1•a2…an=1，求证：（1+a1）（1+a2）…（1+an）≥2n．

Answer 1

解：∵a1＞0，∴根据基本不等式，得1+a1≥2√a1
同理可得，1+a2≥2√a2，1+a3≥2√a3，…，1+an≥2√an
注意到所有的不等式的两边都是正数，将这n个不等式的左右两边对应相乘，得
（1+a1）（1+a2）（1+a3）…（1+an）≥2n•√a1a2a3…an
∵a1•a2…an=1，
∴（1+a1）（1+a2）（1+a3）…（1+an）≥2n•1=2n，即原不等式成立．