Question

在三棱柱ABC-A1B1C1中,AB垂直侧面BB1C1C,已知BC=1,角BCC1=pai/3

求证C1B垂直面ABC2.使在棱CC1(不包含端点C,C1)上确定一点E的位置，似的EA垂直EB1

Answer 1

Ⅰ)
∵ABC-A1B1C1是三棱柱
∴CC1=BB1=2
∵BC=1，∠BCC1=π
/3
∴BC1=√3
∴BC²+BB²1=CC²1
∴C1B⊥BC
∵AB⊥侧面BB1C1C,C1B在侧面BB1C1C内
∴C1B⊥AB
∵BC∩AB=B
∴C1B⊥平面ABC
(Ⅱ)
取CC1中点为E,BB1中点F,
连接EB1,EB
∴EF=BC=1/2BB1=1
∴BE⊥EB1
∵AB⊥侧面BB1C1C
∴EB是EA在侧面BB1C1C内的射影
根据三垂线定理
得EA⊥EB1
(Ⅲ)
∵A1B1//AB
∴A1B1⊥侧面BB1C1C
∴A1B1⊥EB1,且EB1在面A1EB1内
∵EA⊥EB1,EA在面AEB1内
即A1B1,AE分别在两个半平面内，均和棱EB1垂直
∴异面直线A1B1与AE的夹角EAB等于
二面角A-EB1-A1的平面角的大小
∵AB=√
2，EB=1,
∴tan∠EAB=BE/AB=1/√2=√2/2
即二面角A-EB1-A1的平面角的正切值为√2/2