有关于多元函数偏导问题的一个疑惑。

我知道是充分条件,想问一下为什么不是必要条件,有没有反例可以说明它不是必要条件。...我知道是充分条件,想问一下为什么不是必要条件,有没有反例可以说明它不是必要条件。展开... 我知道是充分条件,想问一下为什么不是必要条件,有没有反例可以说明它不是必要条件。... 我知道是充分条件,想问一下为什么不是必要条件,有没有反例可以说明它不是必要条件。 展开 展开
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贡奥骆海秋
2020-07-08 · TA获得超过3943个赞
知道大有可为答主
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反例,考虑如下函数:
F(x,y)=x^3y^3sin(1/(xy)),xy≠0.
F(x,y)=0,xy=0.
1.xy=0,显然有
Fx'(x,y)=Fy'(x,y)=0.
2.xy≠0,
Fx'(x,y)=3x^2y^3sin(1/(xy))-xy^2cos(1/(xy)),
Fy'(x,y)=3x^3y^2sin(1/(xy))-x^2ycos(1/(xy)).
3.
xy=0,显然有
Fxy''(x,y)=Fyx''(x,y)=0.
4.
xy≠0,
Fxy''(x,y)=Fyx''(x,y)=
=9x^2y^2sin(1/(xy))-5xycos(1/(xy))-sin(1/(xy)).
==>
在R^2上,F(x,y)的二阶混合偏导数相等,
但是二阶混合偏导数不连续.
关键在于,原先是xsin(1/x)的形式,在0点附近x占主导,所以其连续且偏导数存在,可是求完偏导数之后,有sin(1/x)的单独的项,这是一个不连续的项。
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