Question

设双曲线C：x2a2-y2=1（a＞0）与直线l：x+y=1相交于两个不同的点A...

设双曲线C：x2a2-y2=1（a＞0）与直线l：x+y=1相交于两个不同的点A、B． （1）求双曲线C的离心率e的取值范围： （2）设直线l与y轴的交点为P，且P分有向线段AB的比为-512，求实数a的值．

Answer 1

解：（1）由C与l相交于两个不同的点，故知方程组x2a2-y2=1x+y=1.有两个不同的实数解．消去y并整理得
（1-a2）x2+2a2x-2a2=0．①…（2分）
所以1-a2≠0.4a4+8a2(1-a2)＞0.解得0＜a＜2且a≠1．…..（5分）
∵双曲线的离心率e=ca=a2+b2a=a2+1a=1a2+1
0＜a＜2且a≠1，
∴e＞62且e≠2…（8分）
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），P（0，1）
∵P分有向线段AB的比为-512
∴PA=512PB，
∴(x1，y1-1)=512(x2，y2-1)．由此得x1=512x2…．（9分）
由于x1，x2都是方程①的根，且1-a2≠0，
∴x1+x2=-2a21-a2，x1x2=-2a21-a2…（10分）
∴1712x2=-2a21-a2，512x22=-2a21-a2
消去x2得：-2a21-a2=28960
又∵a＞0
解得a=1713…..（15分）