Question

已知数列{a n }的前n和为S n ，其中 a n = S n n(2n-1) 且 a 1 = 1 3

已知数列{a n }的前n和为S n ，其中 a n = S n n(2n-1) 且 a 1 = 1 3 （1）求a 2 ，a 3 ； （2）猜想数列{a n }的通项公式，并用数学归纳法加以证明．

Answer 1

（1）
a
2
=
S
2
2(2×2-1)
=
a
1
+
a
2
6
又
a
1
=
1
3
，则
a
2
=
1
15
，类似地求得
a
3
=
1
35
（2）由
a
1
=
1
1×3
，
a
2
=
1
3×5
，
a
3
=
1
5×7
…
猜得：
a
n
=
1
(2n-1)(2n+1)
以数学归纳法证明如下：
①当n=1时，由（1）可知等式成立；
②假设当n=k时猜想成立，即
a
k
=
1
(2k-1)(2k+1)
那么，当n=k+1时，由题设
a
n
=
S
n
n(2n-1)
得
a
k
=
S
k
k(2k-1)
，
a
k+1
=
S
k+1
(k+1)(2k+1)
所以S
k
=k（2k-1）a
k
=k（2k-1）
1
(2k-1)(2k+1)
=
k
2k+1
S
k+1
=（k+1）（2k+1）a
k+1
a
k+1
=S
K+1
-S
K
=（k+1）（2k+1）a
k+1
-
k
2k+1
因此，
k(2k+3)
a
k+1
=
k
2k+1
所以
a
k+1
=
1
(2k+1)(2k+3)
=
1
[2(k+1)-1][2(k+1)+1]
这就证明了当n=k+1时命题成立．
由①、②可知命题对任何n∈N
*
都成立．