Question

已知f(x)=x+12，0≤x≤122(1-x)，12

已知f(x)=x+12，0≤x≤122(1-x)，12＜x≤1，则方程f[f(x)]=x的解集为{13，23，56}{13，23，56}.

Answer 1

解答:解:若0≤x≤
1
2
，
则f(x)=x+
1
2
，
∴f(x)=x+
1
2
∈[
1
2
，1]，
∴f[f(x)]=x等价为f[(x+
1
2
)]=2(1-x-
1
2
)=2-2x-1=x，
∴3x=1，即x=
1
3
.
若
1
2
＜x≤1，
则f(x)=2(1-x)=2-2x∈[0，1)，
①当
1
2
＜x≤
3
4
时，f(x)=2(1-x)=2-2x∈[
1
2
，1)，
∴f[f(x)]=x等价为f[(2-2x)]=2(1-2+2x)=4x-2=x，
即x=
2
3
，满足条件.
②当
3
4
＜x≤1时，f(x)=2(1-x)=2-2x∈[0，
1
2
)，
∴f[f(x)]=x等价为f[(2-2x)]=2-2x+
1
2
=
5
2
-2x=x，
即x=
5
6
，满足条件.
综上方程f[f(x)]=x的解集为{
1
3
，
2
3
，
5
6
}，
故答案为:{
1
3
，
2
3
，
5
6
}.