Question

各位数学学霸，这道高数不定积分具体是怎么做，答案是这样，最好过程详细一点，萌新在此多谢了

Answer 1

这题 有点麻烦，先用三角代换，之后如第一张图求出(sect)^5的积分，再如第二张图求出(sect)^3的积分，最后变量回代。

追问

好的，多谢，懂了

Answer 2

可以使用三角代换来做，令x=√2sectdt, dx=√2sect*tantdt，带入得：
=∫2(sect)^2*√2tant*√2sect*tantdt
=4∫(sect)^3*(tant)^2 dt
=∫ (sect)^5 - (sect)^3 dt
因为：∫(secx)^3 dx= 1/2(secxtanx+lnlsecx+tanxl)+C
而：∫(secx)^5 dx=∫(secx)^3 d(tanx)
=(secx)^3 (tanx) -∫3 (secx)^3(tanx)^2 dx
=(secx)^3 (tanx) -∫3 (secx)^3 [(secx)^2-1] dx
=(secx)^3 (tanx) - 3∫ (secx)^5 - (secx)^3 dx
则 ∫(secx)^5 dx=(secx)^3 (tanx) /4 +（3/4）∫(secx)^3 dx
则 ∫(tant)^2 (sect)^3 dt=∫ (sint)^2/(cost)^5 dt
=∫ (sect)^5 - (sect)^3 dt
=1/4[tant(sect)^3- ∫(sect)^3] dt
=1/4[tant(sect)^3-1 /2sect tant-1/2lnlsect+tantl] +C
反带回x，
=√(x^2/2-1)*x^3/（2√2）-x/2√2*√(x^2/2-1)-1/2ln|x/√2+√(x^2/2-1)|
化简即可

追问

好的，多谢，懂了