Question

怎么证明与任意n阶矩阵可交换的矩阵只能是数量矩阵？

Answer 1

证明方法：设B为可逆矩阵，则由于AB=BA，所以，对于任意可逆阵B都有，B-1AB=A，即A的任意线性变换仍是A自己这样的矩阵只能是数量矩阵。

数量矩阵，指的是设I是单位矩阵, k是任何数,则k*I称为数量矩阵。换句话说,数量矩阵就是对角线上元素都是同一个数值，其余元素都是零。数量矩阵有且只有一个n重特征值。

又称标量矩阵设I是单位矩阵， k是任何数， 则k*I称为数量矩阵。在高等数学(同济第六版)中，数量矩阵又称为"纯量阵"。换句话说，数量矩阵就是主对角线上元素都是同一个数值，其余元素都是零。

一定要注意其余的元素都是零，在经济应用数学课本上没有明确其余元素都是零!

性质:

若任一n维非零向量都是n阶矩阵A的特征向量，则A是数量矩阵，又叫纯量矩阵。也是一种对角矩阵，它的对角线上的值相同。同时，这也是一个上三角矩阵、下三角矩阵和阶梯矩阵。

数量矩阵必能相似对角化。数量矩阵有且只有一个n重特征值。

对称矩阵定义是:A=A‘(A的转置)对称矩阵的元素A(i,j)=A(j,i)。

反对称矩阵定义是:A= - A’(A的转置前加负号)它的第ⅰ行和第ⅰ列各数绝对值相等,符号相反。

即A(i,j)=-A(j,i)于是，对于对角线元素，A(i,i)=-A(i,i),有A(i,i)=0。即反对称矩阵对角线元素为零。