Question

证明：如果矩阵A与所有的n阶矩阵可交换，则A一定是数量矩阵，即A＝aE

Answer 1

记A=aij

用Eij将第i行第j列的元素表示为1，而其余元素为零的矩阵。因A与任何矩阵均可交换，所以必与E可交换。由AEij=EijA得aji=aij，i=j=1,2,3,...n及aij=0i不等于j，故A是数量矩阵。

例如：

设矩阵A=(aij)

则xE－A为其特征矩阵。

当A＝aE时候，xE－A的不变因子为x-a,...,x-a(共n个)

因而A的不变因子不是常数1

当A的不变因子都不是常数时，即是A的不变因子均满足次数大于0，不妨设不变因子分别为d1(x),...,dn(x)。

因为d1(x)|d2(x)d2(x)|d3(x),...,dn-1(x)|dn(x),且|xE-A|的次数为n，且等于d1(x)d2(x)...dn(x)，所以A的全部不变因子都相同，不妨设为x－a，因此A相似于一个数量阵，不妨设A＝X^{-1}(KE)X，从而A＝kX^{-1}X=kE，即是A是数量矩阵。

扩展资料：

若任一n维非零向量都是n阶矩阵A的特征向量，则A是数量矩阵，又叫纯量矩阵，也是一种对角矩阵，它的对角线上的值相同，同时，这也是一个上三角矩阵、下三角矩阵和阶梯矩阵。

数量矩阵有且只有一个n重特征值。

矩阵在物理学中的另一类泛应用是描述线性耦合调和系统。这类系统的运动方程可以用矩阵的形式来表示，即用一个质量矩阵乘以一个广义速度来给出运动项，用力矩阵乘以位移向量来刻画相互作用。求系统的解的最优方法是将矩阵的特征向量求出，称为系统的简正模式。

参考资料来源：百度百科-数量矩阵

Answer 2

记A=aij
用Eij将第i行第j列的元素表示为1，而其余元素为零的矩阵。因A与任何矩阵均可交换，所以必与E
可交换。由AEij=EijA得aji=aij
i=j=1,2,3,...n
及aij=0
i不等于j
故A是数量矩阵

Answer 3

先证与所有对角矩阵可交换的矩阵都是对角矩阵，所以a一定是对角矩阵
再证a与所有只有一个元素为1的矩阵（e(i,j)）都可交换即得