Question

学霸求证：与任意n阶矩阵都可以交换的矩阵A只能是数量矩阵，即A=kE.

如上

Answer 1

任意2个线性无关向量X,Y

==>A(X+Y)=a(X+Y)

=AX+AY=bX+cY

==>

a=b=c

==>A

只有唯一特征值

a.==>A

=AE=A(e1,e2,..,en)

=(Ae1,Ae2,..,Aen)=

=(ae1,ae2,..,aen)

=aE。

扩展资料

解题方法：

先证与所有对角矩阵可交换的矩阵都是对角矩阵，所以A一定是对角矩阵。

再证A与所有只有一个元素为1的矩阵（E（i，j））都可交换即得。

记A＝aij

用Eij将第i行第j列的元素表示为1，而其余元素为零的矩阵。

因A与任何矩阵均可交换，所以必与E可交换。

由AEij＝EijA

得aji＝aij

i＝j＝1，2，3，．．．n及aij＝0

i不等于j

故A是数量矩阵。

Answer 2

可以如图中那样取一些容易计算的矩阵就可以推出结果了。经济数学团队帮你解答，请及时采纳。谢谢！