Question

高数用泰勒公式求极限，求详解

Answer 1

简单计算一下即可，答案如图所示

追问

请问佩亚诺余项和拉格朗日余项有什么区别吗？在做题的时候取哪一样

追答

一般取佩亚诺余项

追问

请问那个余项有什么用啊，在计算的时候余项好像都不代入的，那么选取哪一种余项不都一样吗？

追答

余项可以看出阶数
本题分母是x^3
余项取o（x^3）

追问

余项o(x^3)在参与计算的时候好像没用，那这样取佩亚诺余项和拉格朗日余项都不影响结果啊

追答

有用，
lim o（x^3）/x^3=0

o（x^2）/x^3不一定为0

Answer 2

x→0时，sinx=x-x³/6+O(x³)，cosx=1-x²/2+O(x²)，e^x=1+x+x²/2+O(x²)。
∴原式=lim(x→0)[(x-x³/6)(1-x²/2)(1+x+x²/2)-x(1+x)]/x³=lim(x→0)[(1-x²/6)(1-x²/2)(1+x)-(1+x)]/x²=…=-2/3。

Answer 3

答：
原式=lim(x→0) (sin2x*e^x-2x-2x^2)/(2x^3)
=lim(x→0) [(2x)*(1+x+x^2/2!)-2x-2x^3]/(2x^3)
=lim(x→0) (2x+2x^2+x^3-2x-2x^2)/(2x^3)
=lim(x→0) (x^3)/(2x^3)
=1/2

Answer 4

追问

请问佩亚诺余项和拉格朗日余项有什么区别吗？在做题的时候取哪一样

追答

一般用于求极限，不用讨论余项。
研究余项一般都是些理论问题，除数学专业外，工科很少涉及。

Answer 5

原极限 = lim{x->0} [(1/2)sin2x e^x - x-x^2]/x^3
= lim{x->0} [(1/2)(2x - 8x^3/6)(1+x+x^2/2)- x-x^2]/x^3
= lim{x->0} [(1/2)(2x+2x^2-4x^3/3+x^3) - x-x^2]/x^3
= -1/6