Question

高数用泰勒公式求极限，求详解

Answer 1

等价无穷小的一个代换式：
x→0时
ln(1+x)=x-(x^2)/2+(x^3)/3+...+o((x^n)/n)，
这里x→+∞
则1/x→0
1/x带进上面那个公式
展开3项

追问

第二行是怎么得到的

追答

e^x=1+x+x^2/2!+......+x^n/n!

追问

谢谢啦

不对呀 第二行为什么还乘了e

Answer 2

ln(1+1/x)

f(y) = ln(1+y)
= f(0) +f'(0)x/1! + f'(0)x^2/2!+...
= y-y^2/2 + y^3/3+...
y=1/x
ln(1+1/x) = 1/x - 1/(2x^2) + 1/(3x^3) +...

追问

？？

追答

f(y) = ln(1+y) =>f(0) = 0
f'(y) = 1/(1+y) =>f'(0) = 1

f''(y) = -1/(1+y)^2 => f''(0) = -1
f'''(y) = 2/(1+y)^3 =>f'''(0) = 2

f(y) = f(0) + f'(0)y/1! + f''(0)y^2/2! + f'''(0)y^3/3!+...
= y - y^2/2 +y^3/3 +....
= ln(1+y)

带入
y =1/x
ln(1 +1/x)= (1/x) - 1/(2x^2) +1/(3x^3) +....

追问

第二行是怎么得到的呀

追答

ln(1+1/x)=(1/x) - 1/(2x^2) +1/(3x^3) +....

xln(1+1/x) = 1 - 1/(2x) + 1/(3x^2)+...
e^[xln(1+1/x)] =e^[1 - 1/(2x) + 1/(3x^2)+...]

追问

不对呀

第二行的指数直接消失了

是怎么得到的