Question

线性代数，像这种带参数的矩阵，特征值该怎么求？

Answer 1

|λE-A| =
|λ-1 1 a|
|-2 λ-a 2|
|a 1 λ-1|
|λE-A| =
|λ-1 1 a|
|-2 λ-a 2|
|a+1-λ 0 λ-a-1|
|λE-A| =
|λ+a-1 1 a|
|0 λ-a 2|
|0 0 λ-a-1|
|λE-A| =(λ+a-1)(λ-a)(λ-a-1)
得特征值 λ = -a+1， a， a+1
对于 λ = -a+1， λE-A =
[-a 1 a]
[-2 -2a+1 2]
[a 1 -a]
初等变换为
[-2 -2a+1 2]
[-a 1 a]
[ 0 2 0]

得特征向量 (1 0 1)^T.
对于 λ = a， λE-A =
[a-1 1 a]
[-2 0 2]
[a 1 a-1]
初等变换为
[ 1 0 -1]
[ 0 1 2a-1]
[ 0 1 2a-1]
初等变换为
[ 1 0 -1]
[ 0 1 2a-1]
[ 0 0 0]
得特征向量 (1 1-2a 1)^T
对于 λ = a+1， λE-A =
[ a 1 a]
[-2 1 2]
[ a 1 a]
初等变换为
[ a 1 a]
[-2 1 2]
[ 0 0 0]
初等变换为
[-2 1 2]
[2a 2 2a]
[ 0 0 0]
初等变换为
[-2 1 2]
[ 0 2+a 4a]
[ 0 0 0]
得特征向量 (2-a -4a 2+a)^T
a ≠ 1/2 时， 无重特征值， 矩阵可相似于对角阵。

追问

我想请问下变换为那个矩阵以后怎么得出的特征向量

最终a的取值应该还有个a≠0吧

追答

每行第 1， 3 元素之和是 0，即各 1 倍之和为 0，
故得特征向量 (1 0 1)^T