Question

题目只给出一阶连续导数，为什么能直接写出二阶导数，一阶导数连续并不能说二阶导数可导？

是从Q对X偏导等于P对Y偏导等式中，因为有E的X次方这样的必定可导函数分析确定出，FX必有导函数吗

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Answer 1

题目本身没有问题，甚至于可以把条件削弱为f(x)可导也可以推出f(x)无限光滑
但是图里的解法有问题，在没有证明过f(x)二阶导数连续的情况下直接使用了对光滑性要求更高的工具，所以解法是错的（或者说不完整的），当然你也可以理解为题目出得稍难了点
对光滑性要求比较低的做法是使用积分与路径无关等价于存在原函数的工具（这个结论只需要P和Q连续就够了，不需要借助Green公式来推导），推出原函数的形式一定是
U(x,y)=(f'(x)-x)y+A(x)=(f(x)+2F(x)+e^x)y+B(y),
其中F(x)是f(x)的一个原函数，A(x), B(y)是可微函数，然后得到B(y)是关于y的一次函数。对比关于y的一次项得到关于f(x)的微分方程，进一步得到f(x)无限可微。接下去就可以按常规的方法继续做下去了。

Answer 2

非常明确的告诉你，题目的条件是打印错误。

正确的应当是 f ' (x) 的一阶导数连续。或者是 f(x) 的二阶导数连续。
因为第二类曲线积分与路径无关是由格林公式推导出来的。而格林公式要求
p 对 y 的偏导数与Q对x的偏导数连续。

Answer 3

这是两个人之间的秘密，你不能告诉任何人