Question

求三阶矩阵的特征值与特征向量。

Answer 1

依题，|λE-A|等于如下行列式：
| λ-4 0 0 |
| 0 λ-3 -1 |
| 0 -1 λ-3 |
按第一列展开，得：
(λ-4)[(λ-3)²-1]=(λ-4)²(λ-2)
令|λE-A|=0，求得三个特征值为λ₁=2，λ₂=4，λ₃=4
下面求解特征量，即解方程：(λE-A)x=0
当λ=2时，系数矩阵为：
[ -2 0 0 ]
[ 0 -1 -1 ]
[ 0 -1 -1 ]
第一行除以-2，第二行乘以-1，然后第三行再加上第二行，得：
[ 1 0 0 ]
[ 0 1 1 ]
[ 0 0 0 ]
可见秩为2，有一个基础解系，且满足x₁=0，x₂+x₃=0
令x₃=k，得x₂=-k，因此解为x=k[0, -1, 1]ᵀ，即为λ=2对应的特征向量
当λ=4时，系数矩阵为：
[ 0 0 0 ]
[ 0 1 -1 ]
[ 0 -1 1 ]
第二行加上第三行，得：
[ 0 0 0 ]
[ 0 1 -1 ]
[ 0 0 0 ]
可见秩为1，有两个基础解系，且满足x₂-x₃=0
令x₁=k₁，x₂=x₃=k₂，得解为x=k₁[1, 0, 0]ᵀ+k₂[0, 1, 1]ᵀ
因此λ=4对应的两个特征向量分别为k₁[1, 0, 0]ᵀ和k₂[0, 1, 1]ᵀ