Question

中学数学教学有哪几大原则?

Answer 1

第一节 中学数学的教学原则
教学原则是教学规律的反映,教学经验的结晶,是指导教学工作的基本要求,也是教师在教学工作中必须遵守的基本准则.
我国教育界在教学论中确定的一般教学原则有：科学性与思想性相结合的原则,理论联系实际的原则,教师的主导作用与学生的自觉性、积极性相结合的原则,感知与理解相结合的原则,循序前进性与系统性原则,掌握知识技能的巩固性原则,符合学生年龄特点和接受能力的原则,统一要求与因材施教的原则.
在一般教学原则的指导下,由于各科教学还有其特殊性,所以各学科的教学还应遵循符合本学科特点和学生年龄特征的学科教学原则.
在以传授知识为主的时代,我国广大的数学教育工作者和数学教师根据中学数学的特点、教学实践经验和中学生的年龄特征,总结出了许多行之有效的中学数学教学原则,其中影响最大的是：严谨性与量力性相结合的原则,抽象与具体相结合的原则,理论与实践相结合的原则,巩固与发展相结合的原则.
一.严谨性与量力性相结合的原则
1.数学理论的严谨性
严谨性是数学科学理论的基本特点之一,其涵义主要是指数学逻辑的严密性及结论的精确性,在中学的数学理论中也不例外.它主要表现在以下两个方面：其一,概念（除原始概念外）必须定义；其二,命题（除公理外）都要证明.因此,
(1)每个数学分科所包含的数学概念都分为两类：原始概念和被定义过的概念.原始概念是这个学科中定义其他概念的出发点,其本质属性在该学科中无法用定义方式来表述,只能用公理来揭示；被定义的概念都必须确切的、符合逻辑要求.
(2)每个数学分科所包含的真命题也分为两类：公理和定理.公理是本学科中被挑选出来作为证明其他真命题的正确性的原始依据,其本身的正确性不加逻辑证明而被承认.但是,它们作为一个体系,必须满足相容性（无矛盾性）、独立性和完备性；定理都必须经过逻辑证明.
(3)每个数学分支的概念和真命题按一定的逻辑顺序构成一个体系.在该体系中,每个被定义的概念必须用前面已知的概念来定义；每个定理必须由前面已知其正确性的命题推导出来.
(4)概念和命题的陈述以及命题的论证过程日益符号化、形式化.
但是,数学的严谨性是相对的,是逐步发展的.严谨性并不是各数学分支发展初期就具有的,只是到了最后完善阶段才能达到.例如,函数概念经历了七个发展阶段才逐步严谨起来.欧氏几何直到19世纪末希尔伯特公理体系建立后才真正严谨起来.数学的严谨性还有另一方面的相对性.例如侧重于理论的基础数学和侧重于应用的应用数学,二者对于严谨性的要求是不尽相同的.前者要求高,而后者则相对地要求较低一些.
2.对中学生的量力性
在掌握数学科学的严谨性方面,必须根据中学生的知识水平和接受能力量力而行.对中学生的量力性,应该注意以下几点：
(1)对数学严谨性的要求,只能逐步适应,中学生在由低年级到高年级的学习过程中逐步达到.开始学习时往往都是不够严谨的,理解上依赖于直观,解题中依赖于模仿.例如,在小学和初中的数学教材中渗透了集合与对应的思想,但直到高中阶段才作初步的研究,进入理性认识阶段,才能逐步达到严谨的要求.因此,在教学中必须顺应学生认识的发展规律,要求恰当,量力而行.要有计划、有步骤地逐步提高要求,才能达到逐步理解和掌握教学严谨性的要求.
(2)对数学严谨性的认识具有相对性.由于数学的严谨性是相对的,人类认识数学的严谨性又经历了相当长期的过程.而且,中学生的学习本身也是一种认识活动,学习数学就是对人类经过漫长历史认识所获得的成果进行认识,这一认识过程不必要也不可能重复历史,而是在教师的指导下,遵循由低级到高级、由简单到复杂、由浅入深、逐步深入的一般认识规律进行的.再加上中学的数学课时和学生原有的基础知识与能力都有限,因此,中学生只可能认识数学的最基本的内容和方法,相应地,对数学严谨性的认识也只可能是基本的、相对的和初步的.
(3)中学生智力发展的可塑性很大.中学阶段正是青少年智力迅速发展的时期,中学生接受知识的能力既有局限,可塑性也很大,应该充分估计到他们认识上的潜力.在教学中应恰当地诱发他们的积极性,发挥他们的潜能,促进他们的思维发展.
3.严谨性与量力性相结合
数学科学是严谨的,中学生认识数学科学又要受量力性原则的制约,因此,在数学教学中,既要体现数学科学的本色,又要符合学生的实际,这就是严谨性与量力性相结合的原则对数学教学的总要求.这条原则的实质就是数学教学要兼顾严谨性与量力性这两方面的要求,一方面对数学教学的各个阶段要提出恰当而又明确的目的任务,另一方面要循序渐近地培养学生的逻辑思维能力.
在数学教学中,主要是通过下列的各项要求来贯彻严谨性与量力性相结合的原则的.
(1)教学要求应恰当、明确.这就是说,根据严谨性与量力性相结合的原则,妥善处理好科学数学体系与作为中学教育科目的数学体系之间的关系.
(2)教学中要逻辑严谨,思路清晰,语言准确.这就是说,在讲解数学知识时,要有意识地渗透形式逻辑方面的知识,注意培养逻辑思维,学会推理论证.数学中的每一个名词、术语、公式、法则都有精确的涵义,学生能否确切地理解它们的涵义是能否保证数学教学的科学性的重要标志之一,而学生理解的程度如何又常常反映在他们的语言表达之中.因此,应该要求学生掌握精确的数学语言.
为了培养学生语言精确,教师在数学语言上应有较高的素养.新教师在语言上要克服两种倾向：一是滥用学生还接受不了的语言和符号.例如对初一学生讲“每一个概念的定义中包含的判定性质是充分必要的”,并用双箭头符号表示.二是把日常流行而又不太准确的习惯语言带到教学中.如在讲授分式的约分时,常说：“约去上面的和下面的公因式.”这些话容易引起学生的误解,以致出现下面的错误：
因此,数学教师的语言应该既简练、又精确,力争达到规范化的要求.要防止随意制作定义,乱下判断的现象在教学中出现,不能为了通俗易懂,就用含义不十分确切的生活用语来代替数学术语.
(3)教学中注意由浅入深、由易到难、由已知到未知、由具体到抽象、由特殊到一般地讲解数学知识,要善于激发学生的求知欲,但所涉及的问题不宜太难,不能让学生望而生畏,这样才能取得好的教学效果.
总之,在强调严谨性时,不可忽视学生的可接受性；在强调量力性时,又不可忽视内容的科学性.只有将两者有机地结合起来,才能提高教学质量.
二.抽象与具体相结合的原则
1.数学的抽象性
一切科学都具有抽象性,但是数学是对客观对象的空间形式和数量关系这一特性的抽象.这一特性是事物最一般的也是最本质的特性之一,因而,数学的抽象需要舍弃事物的其它一切特性,达到很高的抽象程度.
数学的抽象性还表现为高度的概括性和应用的广泛性.概括,就是把从部分对象抽象出来的某一属性,推广到同类对象中去的思维过程.例如,从解某类习题的过程中抽象出来的某一解题方法推广到解同类习题中去.抽象和概括是互相联系、不可分离的,数学的抽象程度越高,其概括性也越强,应用范围也越广.
数学的抽象性还表现为广泛而系统地使用了数学符号,具有词语、词义、符号三位一体的特性,这是其它学科所无法比拟的.例如“平行”这个词,其词义是表示空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的一种特定位置关系,有专门符号“//”表示,并可用具体图形表示.
数学的抽象是一个逐级抽象、逐次提高,抽象再抽象的过程.数学教学中充分注意到这个特点,就能有效地培养学生的抽象概括能力.
2.学生抽象思维的局限性
中学生正处于形象思维、经验型抽象思维的水平,到了高中才逐步向理论型抽象思维过渡.由于受年龄、理解问题的能力、认识问题的方位等特点的影响,他们的抽象思维具有一定的局限性.其具体表现为：过分地依赖于具体素材,即从其中可以抽象出所学概念和结论的事例；具体与抽象相割裂,对抽象理论的理解与掌握有片面性、局限性,不能将抽象理论应用到具体问题中去；对抽象的数学对象间的关系不易掌握等方面.
3.抽象与具体相结合
数学理论的抽象性与中学生抽象思维的局限性是中学数学教学中的一对矛盾.如何处理好这对矛盾的关系,关键在于正确理解认识具体与抽象的基本关系——具体是抽象的基础,抽象又以具体为归宿,且有待于上升到高一级的抽象.
(1)从具体到抽象,培养和发展学生的抽象思维能力和创新意识.从具体到抽象在认识上是一个飞跃,是感性上升到理性的一个阶段.在中学数学教学中,应该注意从实例引入,通过实物（包括教具）直观、图象直观或语言直观,形成直观形象,提供感性材料,这是促进和发展学生抽象思维能力的有效途径,例如,通过温度的升降,货物的进出口等实例,引进意义相反的量；通过观察教室里墙面与墙面的交线和墙面与地面的交线之间的关系,引进异面直线垂直的概念等等.应注意从特例引入,讲解一般性的规律.例如,一元二次方程的解法,一般先学习x2=a型,后学习(x+a)2=b型,再学习ax2+bx+c=0型,这样学生比较容易接受.数形结合的方法可以作为直观化的一种重要手段,有利于学生分析、发现和理解.
在中学数学教学中,为了培养和发展学生的抽象思维能力,教师的主要任务在于创设具体的数学情境,启发引导学生积极参与教学活动,防止包办代替.
(2)从抽象到具体,形成技能和进一步培养学生的分析问题、解决问题的能力.从抽象到具体是认识的又一个阶段,它是在从具体的感性认识上升到抽象的理性认识的基础上的又一次飞跃,它属于整个认识过程的更重要的阶段,也就是应用数学理论去初步解决问题,使理性认识具体化的新阶段.
从抽象到具体,是让学生在掌握抽象的数学理论的基础上,用来解决具体的实际问题,并为进一步的从具体到抽象做好准备.解答数学题的过程,主要是抽象的数学理论的运用过程,是形成数学的相关技能的过程,同时,也是进一步培养和发展观察能力和分析、综合等逻辑思维能力的过程；在解答难度较大的数学题时,除了运用抽象理论外,还可能学到一些新的数学思想和方法,对于培养学生的创造性思维能力也有一定的作用.
抽象与具体将结合,是为了使学生对抽象的理论理解得正确、认识得深刻.具体、直观仅仅是手段,而培养抽象思维能力才是根本的目的.因此,只有不断地实施具体——抽象——具体,循环往复的过程,才能不断将学习向纵深发展,使认识逐步提高和深化.
三.理论与实践相结合的原则
1.数学理论与实践的辩证统一
数学理论的抽象性、严谨性都有实践基础,数学理论又具有广泛的应用性.这说明了数学理论既来自于实践,又反过来指导实践,在实践中接受检验和发展.这就是数学理论与实践的辩证统一.
数学理论来源于实践.通过把实践中多种多样的客观事物、现象,根据需要经过分析、综合,归纳出简单而又具有普遍性的道理,从而形成抽象形式的理论,这就是“由繁到简”的认识过程.例如,二次函数y=ax2就是将许多实际的数量关系抽象概括而来的,形成这一数学模型的抽象理论后,它就具有更大的普遍性.对其中的字母赋予不同的含义,就可以表示不同的数量关系,比如自由落体运动公式S=gt2、能量公式E=mv2、圆面积公式S=πr2等等.
正是由于数学理论的精而简和普遍性,才使得它能用来“以简驭繁”,指导实践,应用广泛地去解决问题,同时在解决问题的实践中检验理论、发展理论.
2.中学生学习数学的实际
中学生学习数学的过程,是一种特殊的认识与实践的过程.这就是在教师的指导下,以课堂教学形式为主、以学习间接知识为主的学习过程.
中学生学习的数学理论知识,是经过前人若干世纪的实践锤炼、整理而形成的.由于课堂教学时间有限,对中学数学中的基础知识,不可能也不必要都从实际开始,更不可能事事都让学生去发现.但是应该尽量让学生了解知识的实际背景,来龙去脉,参与知识的形成过程,从而逐步树立正确的数学观.
将生产实际、生活实际问题抽象出明确的数学问题,从而建立起清晰的数学模型,对中学生来说,是十分困难的问题.这也是造成许多学生害怕学数学,进而不愿学数学的重要原因.
中学生由于对数学原理不理解或理解不深刻,不善于具体分析,往往停留在死记硬背、生搬硬套的水平上,对数学问题中的数量关系往往分析不清楚,因此,在应用理论解决实际问题中,很难发挥理论的指导作用.
3.理论与实践相结合
理论与实践相结合,既是认识论与方法论的基本原则,又是教学论与学习论的基本原则.应用这一原则进行教学时,应该注意以下几方面：
(1)注重中学数学与实际的联系.在教学中,教师必须从实际出发,从学生熟知的生活、生产实际出发,创设适当的数学情境,逐步教会学生提出数学问题、解决数学问题,逐步达到数学知识与实践的统一.
(2)大力提高理论水平,强化理论的指导作用.理论联系实际的中心环节是深刻理解理论、发挥理论的指导作用.只有加深知识理解,提高中学数学教学的理论水平,才能牢固掌握有关的数学知识,使之应用到实践中去.应试教育的影响之大,一个重要的原因就是由于理论水平不高,缺乏理论指导,只讲算法不讲算理；不注重理解和系统掌握,满足于记忆加模仿；不注重科学的“通法”,追求所谓解题技巧等等.
(3)掌握好理论与实践相结合的度.在中学数学教学中,如何创设数学情境,使之与要学习的数学知识密切联系,从而有利于培养学生提出问题的能力；学生应当掌握哪些典型实际问题,根据数学情境提出数学问题应该达到什么程度与要求,根据数学建模的思想方法,通过从实际问题抽象出数学问题的训练,如何有计划地培养学生的抽象能力、分析与综合能力、类比能力等各种能力,进而建立数学模型,解决数学问题,从而解决实际问题,都需要有计划、经常化,全面地进行考虑.
四.巩固与发展相结合的原则
巩固与发展相结合,是科学的教学原则之一,它是由中学数学的课程目标、教学特点与规律所决定的,是受人的记忆发展的心理规律所制约的.巩固是为了发展知识,而发展了的知识反过来又可以促进知识的牢固掌握.
1.巩固所学的数学知识
知识的掌握包括感知、领会、巩固与应用四个有联系的层次和过程.感知是由不知到知,领会是由浅知到深知,巩固是由遗忘到保持,应用是由认识到行动的过程.掌握知识的目的在于应用,但如果所学的知识得不够巩固,应用也就成了空话.要巩固所学的知识,关键在于记忆,只有提高记忆力,才能牢固掌握数学基础知识和基本技能.
(1)理解是记忆的基础.数学知识只有在被深刻理解的基础上才能被牢固地记忆.在教学中,加强基础知识教学,从多方面揭示数学事实、数学概念和原理的本质,建立一定的逻辑体系,使学生深刻理解,这是增强记忆、巩固知识的有效办法；而善于引导学生理解事物间的联系,充分利用已有知识和经验,使新联系在已有联系的基础上建立,把新知识纳入相应的知识系统,不断充实和完善认知结构,也是使学生深入理解、牢固记忆的好办法.
(2)形象识记与逻辑识记有机结合.在教学中,充分揭示数学知识和客观实际的联系,新旧知识的关系和联系,各单元之间的内在联系,适当借助直观化手段,把理论知识与实际结合起来,有利于达到巩固知识的目的.因此,对定理、公式、法则的讲解,除了注意逻辑推理外,还应该注意采用适当的直观手段,比如实物、模型、图表、图解、图示等等,来说明其意义,帮助学生在头脑中形成直观的形象,从而促进记忆.
(3)通过归纳、类比,引起联想促进记忆.对于性质相近、形状相似的同类事物可以引起类似联想.对于具有相反特点的事物引起的对比联想,当矛盾的一方出现时,可以引起对矛盾的另一方的联想,从而提高记忆的效果.还可以从事物的因果关系、从属关系上进行关系联想.例如数的概念的扩充,其知识内容一环套一环,在逻辑上是因果关系,从属关系.理解这些关系,有利于记忆.
(4)识记与再现相结合,加速与巩固记忆.在教学中要让学生在学习中掌握遗忘规律,合理地组织复习,设法促进知识的再现.同时要注意复习方式的多样化,防止单调的机械重复,以提高巩固知识的效率.
2.注重发展学生思维
数学教学的目的不仅要使学生牢固地掌握系统的知识和技能,更重要的是培养学生的创新思维和实践能力.只有让学生的思维得到发展,才能更深刻地理解和巩固所学的知识,从而提高学生的实践能力.“数学是人类思维的体操”,说明数学教学必须发展学生的思维,而且有利于发展思维.
(1)在教学中要明确思维的目标与方向.学生的思维从问题开始,没有挑战性的问题,不能激发起学生的思维.因此,在教学中应该提出有启发性的问题,创设问题情境,使学生明确思维的方向,从而激发学习的兴趣,促进思维的发展,提出数学问题,进而解决数学问题,并能应用于实际中去,使学生的创新意识和实践能力都得到培养.
有一位教师在讲三角形的分类时,给出了如下三幅图

让学生根据图形中显然出的三角形的部分判别三角形的类型.学生在判别第一幅图中的三角形的类型时,产生了很大的争论,最后在教师的指导下统一了认识,获得了正确的结果,对学生思维的发展起到了促进的作用.
(2)给学生进行思维加工提供充足的原料.学生的思维过程,就是对输入信息加工的过程,因而,信息就是思维加工的原料.只有原料充足,思维加工才会有效地进行.在中学数学教学中,可供给学生的信息不外乎语言和表象.数学公式、符号等都属于语言信息,图象、模型、教具等属于表现信息.在教学中,只有不断丰富和积累这些数学语言和表象,明确这些思维加工原料的意义,才能促进思维的发展.
(3)要发展抽象思维形式.要发展思维,就要发展思维形式.抽象思维有概念、判断和推理三大形式,概念是基础,判断是概念的联接,推理是判断的组合.在中学数学教学中,首先要让学生掌握一系列的数学概念,才能在此基础上进行正确的判断,并进行正确的推理.只有这样,才能在不断掌握数学基础知识和一定的数学技能的过程中,发展学生的思维.
(4)要教会学生掌握思维的方法.中学数学中的思维方法一般有：分析与综合、比较与归类、抽象与概括、归纳与演绎、系统化与具体化、一般化与特殊化等.这些思维方法是互相联系、交织在一起的,在学习和运用的实践中,必须综合应用,才能正常地思维,才能理解和巩固所学知识,在实践中发现问题、解决问题.
3.巩固与发展相结合
巩固与发展相结合,就是要把牢固地掌握数学基础知识、基本技能和发展思维、提高能力结合起来.巩固知识的关键在于知识系统化和应用,发展思维的关键在于逻辑化和训练.因此,在教学中应该有效地组织复习,温故而知新,举一反三,触类旁通,使学生的知识系统化、不断深化,思维得到训练和发展,能力得到提高.
为了在教学中能够很好地贯彻巩固与发展相结合的原则,应该注意以下两方面：
(1)认真研究对学生所学知识、技能和方法进行复习巩固的工作.要全面系统地复习基础知识,让学生领会基本的数学思想和方法.适时地进行单元复习、总复习,使所学的知识系统化,形成有机的知识体系.领会了知识体系中数学思想方法,就不仅能举一反三、灵活应用,达到巩固和深化的目的,而且能够将这些知识系统逐渐内化,由量变到质变,从而引起和促进学生思维整体结构的发展,提高学习和应用数学的能力.
(2)围绕教学目的,着眼发展思维和培养能力,精心选配复习题.选配复习题不仅要具有概念性、基础性、典型性、针对性、综合性,而且还要有启发性、思考性、灵活性和创造性等特点.例如,利用成套题复习,有利于调动各种手段,贯通各种方法,提高学生应用数学知识的能力；利用一题多解的习题复习,有利于发展学生的求异思维,提高解题能力；利用变式题进行复习,有利于培养学生思维的灵活性和创造性；利用改错题进行复习,有利于培养学生思维的批判性,提高科学的辨别能力；利用引申题进行复习,可以培养学生思维的灵活性和深刻性,提高学生的数学能力.

Answer 2

简单分析一下，详情如图所示