Question

热传导方程

Answer 1

齐次热传导方程 ：

非齐次热传导方程 ：

当物体体积很大，考虑时间很短和较小范围内的温度变化情况，边界条件所产生的影响可以忽略，这时就不放吧考察的物体视为充满整个空间，而定解问题就成为 柯西问题 ，此时初始条件为

扩散方程
称为 扩散系数 ，总取正值.

扩散方程为

如果 是常数，记 ，扩散方程就化为与热传导方程完全相同的形式.

初边值问题:

为正常数.

Sol: 分离变量法
令
代入方程有

于是

只有两边均等于常数时才成立. 令此常数为 ，则有

由边界条件得

当 时，只有平凡解
当 时，

利用边界条件 得 ，利用第二个边界条件知

为使 为非平凡解， 应满足

即 应是下述超越方程的正解：

令

则变为

可知有无穷多个正根 ，满足 .

及相应的固有函数

同样可以解得

于是得到一列可分离变量的特解

用叠加原理构造级数形式的解

又

于是得到

于是得到初边值问题

的形式解为

设 是定义在 上的函数，它在 上有异界连续导数，则在 中 可以展开为傅里叶级数

并且

该积分表达式称为 的 傅里叶积分 .

称 为 的 傅里叶变换 ，记为

称 为 的 傅里叶逆变换 ，记为 .

当 在 上连续可导且绝对可积时，它的傅里叶变换存在，且逆变换等于 .

性质 1 线性变换

其中 ， 为函数.

如果对给定的 ，当 时，

存在，则称 为 与 的 卷积 ，记为 . 显然，当 为绝对可积时， ，即卷积是可以交换的.

性质 2
和 的卷积的傅里叶变换等于 和 的傅里叶变换的乘积，即

性质 3
和 乘积的傅里叶变换等于 和 的傅里叶变换的卷积乘以 ，即

性质 4

如果 都是可以进行傅里叶变换的，而且当 时， ，则成立

性质 5

如果 及 都可以进行傅里叶变换，那么

热传导方程柯西问题的求解

解为

也成为泊松公式.

非齐次热传导方程的柯西问题

解为

由叠加原理可以得到柯西问题的解为

的解为

第一类边值问题中：

热传导方程的初边值问题

在区域 上的解是唯一的，而且连续地依赖于边界 上所给定的初始条件及边界条件.

对任意给定的 ，热传导方程的初边值问题在 上的解是唯一的，且连续地依赖于初值 以及边界条件中的函数 .

柯西问题

在有界函数类中的解是唯一的，而且连续依赖于所给的初始条件.

假设初始函数 满足 则当 趋于无穷时，问题

的唯一的经典解指数衰减地趋于零，确切地说，当 时，对一切 ，

其中 为一个与解无关的正常数.

这个唯一经典解是

如果 收敛，则称 ，并记

设 是由解连续函数，且 ，则柯西问题

的唯一经典解具有如下的渐近性态：对一切 ，当 时，一致地连续

其中 为一个仅与 及 有关的正常数.