Question

可逆矩阵的秩等于矩阵的阶数

Answer 1

“可逆矩阵的秩等于矩阵的阶数”的说法是线性代数里的基本定义，具体解释如下：

1.An可逆，r(A)=n 或 |A|≠0。 阵的列秩和行秩总是相等的，因此它们可以简单地称作矩阵A的秩。通常表示为r(A)，rk(A)或rank A。 m × n矩阵的秩最大为m和n中的较小者，表示为 min(m,n)。有尽可能大的秩的矩阵被称为有满秩；类似的，否则矩阵是秩不足（或称为“欠秩”）的。

2.如果逆矩阵存在，即秩等于，那么这四个秩都相等，如果秩等于n-1那么逆矩阵不存在，伴随的秩等于1，如果矩阵的秩小于n－1那么伴随的秩为零，当然逆矩阵也不存在。

3.可逆矩阵的秩等于阶数，通常也叫做满秩矩阵，因为矩阵可逆就说明该矩阵的行列式的值不为零，所以可以判断它的秩等于阶数。

4.矩阵A为n阶方阵，若存在n阶矩阵B，使得矩阵A、B的乘积为单位阵，则称A为可逆阵，B为A的逆矩阵。若方阵的逆阵存在，则称为可逆矩阵或非奇异矩阵，且其逆矩阵唯一。

5.行阶梯矩阵非零行的首非零元(个数=非零行数)所在的列是线性无关的, 且其余向量可由它们线性表示。所以它们是A的列向量组的一个极大无关组。所以A的列秩 = 非零行的行数，所以A的秩 = 非零行的行数。