Question

求由抛物面z=x²+y²坐标平面和平面x+y=1所围立体的体积

Answer 1

坐标平面有3个，围成卦限。z=x²十y²是开口向上的顶点在原点，对称轴z的旋转抛物面。
x十y=1在xoy平面是一直线，过点x=0，y=1，x=1，y=0
在空间就是通过这个直线的竖直平面。
立体就是抛物面之下，第一卦限部分x十y=1以内部分。一个抛物顶截顶三棱柱。

追答

V=∫∫(Δ)(x²十y²)dxdy
=∫(0，1)dx∫(0，1-x)(x²十y²)dy
= ∫(0，1)(x²y十y³/3) (0，1-x) dx
= ∫(0，1)(x²(1-x)十(1-x)³/3) dx
设t=1-x，t=1~0，
x=1-t，dx=-t，代入
=∫(1，0)[(1-t)t十t³/3](-dt)
=(t²/2-t³/3十t^4/12)(0，1)
=1/2-1/3十1/12
=1/4

Answer 2

引用zhangsonglin_c的回答：
坐标平面有3个，围成卦限。z=x²十y²是开口向上的顶点在原点，对称轴z的旋转抛物面。
x十y=1在xoy平面是一直线，过点x=0，y=1，x=1，y=0
在空间就是通过这个直线的竖直平面。
立体就是抛物面之下，第一卦限部分x十y=1以内部分。一个抛物顶截顶三棱柱。

设t=1-x，t=1~0，
x=1-t，dx=-t，代入
=∫(1，0)[(1-t)^2t十t³/3](-dt)