Question

3/b+4/a=1,求a+b的最小值

Answer 1

根据等式3/b+4/a=1，移项得到4/a=1-3/b，进一步化简为a=4b/(3b-4)。

因为a、b都是正数，所以要使a最小，就要使分母3b-4最大。同理，要使b最小，就要使分母4a-3最大。

由于3b-4和4a-3是相互影响的，我们可以考虑将它们乘起来，即：

(3b-4)*(4a-3)=(12ab-9b-16a+12)

我们要求a+b的最小值，可以将a代入上式中，得到：

(3b-4)*(16b/(3b-4)-3)=12b-9b/(3b-4)-48+9
=(21b-39)/(3b-4)+3

由于3b-4>0，因此可以把它提出来：

(21b-39)/(3b-4)+3=21/(3b-4)×b-13/(3b-4)+3

=21/(3b-4)×b+10/(4-3a)

因为不等式两边的分母相同，所以我们可以把它们合并：

21/(3b-4)×b+10/(4-3a)=21b/(3b-4)+10a/(4a-3b)

=67/(3b-4)

把它代入原等式3/b+4/a=1中，得到：

3/b+4/(67/(3b-4))=1

化简得到：

3b^2-4b-268=0

解得：

b=8或b=-11/3

因为b为正数，所以b=8，代入a=4b/(3b-4)中，得到a=32。

因此，a+b的最小值为40。

Answer 2

当a、b都是正数时，a+b存在最小值。

详情如图所示:

供参考，请笑纳。