Question

高数,数列收敛与有界与极限三者的关系？

Answer 1

答：
数列收敛,即：
存在 N∈N+,使得n>N时,对于任意ε（ε>0）,恒有：|Xn-a| < ε 成立,其中a就是该数列的极限
由此可知：数列收敛则数列极限存在,反之也是一样.
数列有界,即：
若 存在M > 0,使得一切自然数n,恒有：|Xn| < M 成立,则称数列xn有界
有界数列不一定存在极限,如：xn=sinnx,显然,该数列 |sinnx|≤1,但是该数列没有极限,因为该数列在（-1,1）之间,没有收敛
综合：由上可以看出,数列收敛等价于数列存在极限；而数列有界和数列极限没有必然关系；作为拓展,这里可以告诉你：
当数列存在单调性（在取值内只有单调递增或递减）且有界时,该数列收敛.
上述定理可以用夹逼定理证明的.,10,收敛必有届、有届不一定收敛o,2,