Question

椭圆上哪一点到焦点的距离最小,为什么?求证明

Answer 1

可设椭圆方程为

(x²/a²)+(y²/b²)=1 (a＞b＞0)

两个焦点F1(-c，0)，F2(c，0)

长轴的两个端点A1(-a，0)，A2(a，0)

因点P在椭圆上，故可设P(acost，bsint)， t∈R。

由两点间距离公式可得

|PF1|²=(acost+c)²+(bsint)²

=a²cos²t+2accost+c²+b²sin²t

=(a²-b²)cos²t+2accost+c²+b²

=c²cos²t+2accost+a²

=(a+ccost)²

由-1≤cost≤1 且a＞c＞0可知

0＜a-c≤a+ccost≤a+c

∴|PF1|=a+ccost

∴| PF1|min=a-c，此时，cost=-1，sint=0，P(-a，0)

又|PF1|+|PF2|=2a

∴当|PF1|min=a-c时，|PF2|max=a+c，

此时点P在长轴的一个端点上。

扩展资料：

当焦点在x轴时，椭圆的标准方程是：x^2/a^2+y^2/b^2=1，(a>b>0)；

当焦点在y轴时，椭圆的标准方程是：y^2/a^2+x^2/b^2=1，(a>b>0)；

其中a^2-c^2=b^2

推导：PF1+PF2>F1F2(P为椭圆上的点，F为焦点)

设椭圆的两个焦点分别为F1，F2，它们之间的距离为2c，椭圆上任意一点到F1，F2的距离和为2a（2a>2c）。

以F1，F2所在直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系xOy，则F1,F2的坐标分别为（-c，0)，（c，0)。

当焦点在X轴上时焦点坐标F1（-c，0）F2(c，0)

当焦点在Y轴上时焦点坐标F1（0，-c）F2(0，c)

参考资料来源：百度百科--椭圆的标准方程