Question

设(A，*)是群，且|A|=2n，n∈I+．证明：在A中至少存在a≠e，使得a*a=E.其中e是单位元．

Answer 1

【答案】：因|A|=2n，n∈I₊，所以在A中至少有b≠e；又因(A，*)是群，所以b¹，b²，…，b²ⁿ，b²ⁿ⁺¹，…，∈A，从而必有某s，k∈I₊，且s＜k，使得b^s=b^k，有b^k-s=e．令p=min{k|b^k=e；k∈I₊}，那么，如果p为偶数，则令a=b^p/2，从而有a≠e，使得a*a=e；如果p为奇数，则p-1为偶数，且b^p-1≠e，那么档悔乎再做出b^p-1，6^2(p-1)，…，b^2n(p-1)，b^(2n+1)(p-1)，…．从而必有某s，k∈I₊．且s＜行悉k，使得b^s(p-1)=b^k(p-1)，有b^(k-s)(p-1)=e．前纯
令t=min{k(p-1)|b^k(p-1)=e；k∈I₊}，则令a=b^t/2，从而有a≠e使得a*a=e．