Question

函数f(x)=e^xsinx,若任意x属于[0，π/2]，f(x)≥ax,则a取值范围为多少？用洛

函数f(x)=e^xsinx,若任意x属于[0，π/2]，f(x)≥ax,则a取值范围为多少？用洛必达法则怎么做？

Answer 1

a≤e^x·sinx/x
设f(x)=e^x·sinx/x，则
f'(x)=e^x/x²·[x(sinx+cosx)-sinx]
当x∈(0，π/2)时，
sinx+cosx=√2·sin(x+π/4)＞1
∴x(sinx+cosx)-sinx＞x-sinx≥0
∴f'(x)＞0
∴f(x)在(0，π/2)上单调递增

lim(x→0)f(x)
=lim(x→0)e^x·sinx/x
【下面用洛必达法则求此极限，个人感觉完全没必要，极限很简单的】
=lim(x→0)e^x(sinx+cosx)/1
=1
结合前面的单调性，
x∈(0，π/2)时，f(x)＞1
∴欲使a≤e^x·sinx/x成立，
必须且仅需 a≤1

追问

(⊙o⊙)哦，似乎有点懂，鄙人不才，高三狗一只，初涉极限，不懂大神……〒_〒