Question

导数应用题

在半径为0.5米的圆桌中心上方安装一吊灯，桌面上灯光的强度是y=k*sina/r2( r的平方分之sina),其中r是灯与桌面上被照点的距离，
a是光线与桌面的夹角，为了使桌面上的灯光最亮，吊灯应离桌面多高？

答案为根号2/4 ，请写明过程

Answer 1

解：设吊灯与桌面的距离为x米，

因为sina=x/r,r=根号(x^2+0.5^2),

所以y=k*x/r^3=kx/(x^2+0.5^2)^（3/2）,（函数图像如图所示）

对上式求导，得：

y=k*(0.5^2-2x^2)/(x^2+0.5^2)^(5/2),

令y=0，解得稳定点为x=-根号2/4（舍去）或x=根号2/4，

比较下面三数：

当x=根号2/4时，y=k*8*根号3/9，

当x=0时，y=0,

当x趋向正无穷大时，y趋向于0，

可知：当x=根号2/4时，y取得最大值，最大值y=k*8*根号3/9，

（通过图像可看出最值）

故吊灯应离桌面根号2/4米高。

Answer 2

y=k*sina/r^2
y'=k*(sina/r^2)'+(sina/r^2)
转求(sina/r^2)'
(sina/r^2)'=(sina*((r^2)^-1))'
=(sina*((r^2)^-1)'+(sina'*(r^2)^-1)
设 V=r^2 S=V^-1 则
(r^2)^-1)'=V'*S'=2r*(-(r^2)^-2)
可得
y'=k*(sina2r*(-(r^2)^-2))+(cosa*(r^2)^-1)+(sina/r^2)

在从勾股定理 0.5*0.5+h*h = r^2 可带入一式消掉R^2得出H高度的方程再求最大值 LZ你没有说sina 多少...

Answer 3

由已知可得tana=r/0.5，则sina=r/√(r^2+0.25),y=k*r/√(r^2+0.25)/r2=
k/(r*√(r^2+0.25))对y求导，求最大值就行了
应该是sina=√（r^2-0.5）/r则y=k*√（r^2-0.5）/（r^3）
y'=k/√（r^2-0.5）/r/r-3k*√（r^2-0.5）/(r^4)=0,得r=0.866
网上就有！

Answer 4

这两个题目给的已知函数并不直接是你要求的结果。比如说第一个，求利润的最大值。实际上利润和产量之间的函数关系并没有直接告诉，你求导之前应该考虑清楚，是对谁求导？求得的又是谁的极值？所以要新建立函数，把已知和未知联系起来。
第一题，利润
Y
=
(P
-
C)
*
X
=
(25
-
1/8X
-
100
-
4X)
*
X
这个函数关系才是利润和产量的关系。
第二题，因为是匀速行驶，耗油量
=
行驶时间
*
每小时油耗
=
(路程/速度)*每小时油耗。设总油耗为Z，速度为X
Z
=
(100
/
X)
*
(1/128000X^3
-3/80X
+
8)