Question

（拉普拉斯变换的性质课后题）这个积分不用终值定理能做吗？

Answer 1

∫<0,+∞>t^3e^(-t)sintdt
=-t^3e^(-t)cost|<0,+∞>+∫<0,+∞>(3t^2-t^3)e^(-t)*costdt
=(3t^2-t^3)e^(-t)sint|<0,+∞>-∫<0,+∞>(6t-6t^2+t^3)e^(-t)sintdt
=-∫<0,+∞>(6t-6t^2+t^3)e^(-t)sintdt,
所以∫<0,+∞>t^3e^(-t)sintdt=3∫<0,+∞>(t^2-t)e^(-t)sintdt,①
仿上，∫<0,+∞>(t^2-t)e^(-t)sintdt
=∫<0,+∞>(3t-1-t^2)e^(-t)costdt
=-∫<0,+∞>(4-5t+t^2)e^(-t)sintdt,
所以∫<0,+∞>(t^2-t)e^(-t)sintdt
=2∫<0,+∞>（t-1）e^(-t)sintdt,②
∫<0,+∞>（t-1）e^(-t)sintdt
=∫<0,+∞>（2-t）e^(-t)costdt
=-∫<0,+∞>（-3+t）e^(-t)sintdt,
所以∫<0,+∞>（t-1）e^(-t)sintdt
=∫<0,+∞>e^(-t)sintdt
=-e^（-t）cost|<0,+∞>+∫<0,+∞>e^(-t)costdt
=1-∫<0,+∞>e^(-t)sintdt,
所以∫<0,+∞>e^(-t)sintdt=1/2，
代入②，∫<0,+∞>(t^2-t)e^(-t)sintdt=1，
代入①，∫<0,+∞>t^3e^(-t)sintdt=3。
仅供参考。