Question

根式不等式

我是初三的学生，突然对根式不等式感兴趣，找了几道题发现不怎么上手啊。【是类似根号3X+1＞-1+根号下2X+1】求各位给一些根式不等式的一般解法，顺便给几道题目（附答案）。PS：我试图用两边平方准备再讨论排除增根的方法，但是发现即使4次方也消不掉根号项。

Answer 1

现在只讨论二次根式。因为高次根式非常麻烦，尤其是不同次方的根式。
一般做法是这样的
如果共有两个根号，那么移项使得两边各有一个根号，且没有根号的项全在一边；两边分别平方，消掉一个根号。
如果还有根号，那么将所有的没有平方的项都移到一边去，两边平方，消掉第二个根号。
在以上的平方过程中需要时刻注意平方时不等号仍成立的条件，即|x|>|y|时，x^2>y^2；并且，还要注意恒等式的出现条件。

就以你的题目√(3x+1)>√(2x+1)-1为例。
第一步：显然定义域为x≥-1/3。

第二步，其一：需要看到当√(2x+1)-1<0即x<0时，该不等式恒成立。
第二步，其二：当√(2x+1)-1≥0即x≥0时，我们有必要两边平方：
√(3x+1)>√(2x+1)-1
3x+1>2x+1-2√(2x+1)+1
x-1>-2√(2x+1)
2√(2x+1)>-(x-1)
注意，我们在两边平方之后，将所有的不含根号的项挪到了一边，并且令根式一边的系数是正的。

第三步，其一：当-(x-1)<0即x>1时，该不等式恒成立。注意，这是在x≥0的条件下说的。
第三步，其二：当-(x-1)≥0即x≤1时，继续两边平方：
2√(2x+1)>-(x-1)
4(2x+1)>(x-1)^2
8x+4>x^2-2x+1
x^2-10x-3<0
5-2√7<x<5+2√7

注意到5-2√7≈-0.29，我们可以得到最终结论了：
1、-1/3≤x<0是解集；
2、x≥0且x>1，即x>1是解集；
3、0≤x≤1，且5-2√7<x<5+2√7，即0≤x≤1是解集。
综上，x≥-1/3就是该不等式的解集，也就是说它在定义域内是恒成立的。

此外还有一种办法，就是将不等号改写为等号，然后解根式方程。这样就可以省去讨论不等号改变方向、两边分别是正负的问题。解完方程后得到若干个根（需要验根），则不等式的解集必然在这些根的两两之间。例如得到根为1，2，3，则解集可能是1<x<2且x>3，或别的可能。分别取其中的值（如0.5，1.5，2.5，3.5）代入验证是否成立即可。
当方程无解时，说明这就是个恒成立的不等式。

当有不少于3个根号时，将根号全放在一边然后平方是不能解决问题的（交叉项又出现了3个根号），必须用分别放在两边的办法去做。
对于多个根式混合的一个想法：令其中一个（比方说）√(x-a)=t，解得x=t^2+a，然后代入另外一个去，这样就可以减少一个根号。当然，哪种办法更简单也得实际做了才知道。
当根号太多时，很可能不能解出来。

Answer 2

不等式是没有固定套路的，重要的都是观察。关键是要多做题目。
象你说的那题：
根号3X+1＞-1+根号2X+1
首先要变成：
（根号3X+1）-（根号2X+1）＞-1
然后讨论（根号3X+1）-（根号2X+1）跟1比较大小的结果
1、【如果（根号3X+1）-（根号2X+1）大于1
可将两边平方，化简得到：5X+1＞根号((3X+1)*(2X+1))
因为根号((3X+1)*(2X+1))大于1，
所以再次两边同时平方，化简后得到：X(19X+5)>0
解得X>0，X<-5/19
】
2、【如果（根号3X+1）-（根号2X+1）大于-1且小于1
可将两边平方，化简得到：5X+1<根号((3X+1)*(2X+1))
◆讨论5X+1的符号◆
①当5X+1的绝对值小于根号((3X+1)*(2X+1))的绝对值时时
②当5X+1的绝对值大于等于根号((3X+1)*(2X+1))的绝对值时时
】
3、【如果（根号3X+1）-（根号2X+1）等于1
】
==============================================
由于时间关系，现在已经凌晨一点了，不能打扰家人休息，所以后面几步不能详细帮你做。你说的例题，一时半会儿也弄不到。只能这样了。见谅。
还是自己做看看吧……
新年快乐。。。