Question

.已知函数f(x)、g(x)在R上有定义，且f(x－y)＝f(x)g(y)－g(x)f(y)，若f⑴＝f⑵≠0，则g⑴＋g(－1)＝ ____

Answer 1

特殊值法：
令x = 2, y = 1
f(2-1) = f(1) = f(2)g(1) - g(2)f(1)

令x = 1, y = 2
f(1-2) = f(-1) = f(1)g(2) - g(1)f(2) = -f(1)
即
f(-1) = -f(1) ........................(1)

令x = 1, y = -1
f(1+1) = f(2) = f(1)g(-1) - f(-1)g(1)
代入(1)得
f(1)g(-1) + f(1)g(1) = f(2) = f(1)
两边同除f(1)
g(1) + g(-1) = 1

Answer 2

已知函数f(x)、g(x)在R上有定义，且f(x－y)＝f(x)g(y)－g(x)f(y)，若f⑴＝f⑵≠0，则g⑴＋g(－1)＝ ________.
令x=y=0
∴f(0)=f(0)g(0)-g(0)f(0)
∴f(0)=0
令x=1,y=0
∴f(1)=f(1-0)=f(1)g(0)-g(1)f(0)=f(1)g(0)
∴g(0)=1
令x=0,y=1
∴f(-1)=f(0-1)=f(0)g(1)-g(0)f(1)=-g(0)f(1)=-f(1)
令x=-1,y=1
∴f(-2)=f(-1-1)=f(-1)g(1)-g(-1)f(1)=-f(1)g(1)-g(-1)f(1)=-f(1)[g(1)+g(-1)]
又∵f(-2)=f(1)≠0
∴g(1)+g(-1)=-1