Question

函数f(x)在[a,b]上有定义且|f(x)|在[a,b]上可积，此时f(x)在[a,b]上的定积分为什么不一定存在？

这是同济大学《高等数学》第六版 第269页 总习题五 第1题 第(4)个填空题
但是没弄懂为什么。

谢谢！

Answer 1

函数可积的条件是：若函数f(x)在[a,b]上连续，则f(x)在[a.b]上可积。
对于你的问题我举个反例你就知道了，
设f(x)=1(x≥0),-1(x＜0）（一个分段函数形式）
此时f(x)不是连续函数，但是|f(x)|=1是连续函数
所以f(x)不一定可积。

Answer 2

定积分要求被积F（X）在定义域内连续可导，条件隐含|F（X）|在【a b】连续可导，但是f(X)不一定，画画图像就能找到反例