Question

a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，c= 根号3asinC+ccosA （1）求角A

a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，c= 根号3asinC+ccosA
（1）求角A；
（2）若a=2根号3，△ABC的面积为根号3求三角形的周长

Answer 1

(1)
∵c=√3asinC+ccosA
根据正弦定理
a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC,
∴sinC=√3sinAsinC+sinCcosA
∵sinC>0,约去得：
√3sinA+cosA=1
两边除以2
√3/2*sinA+1/2*cosA=1/2
∴sin(A+π/6)=1/2
∵A+π/6∈(π/6,7π/6)
∴A+π/6=5π/6
∴A=2π/3
(2)
a=2√3,A=2π/3
根据余弦定理：
a²=b²+c²-2bccosA
∴12=b²+c²+bc
∵ΔABC的面积为根号3
∴1/2*bcsin2π/3=√3
∴bc=4
∴b²+c²=12-bc=8
∴(b-c)²=b²+c²-2bc=0
∴b=c=2
此三角形周长为6