Question

高等数学多元函数问题 如图 为什么偏微分就不能像微分dx一样约掉 然后多元复合函数求导和全微分为什

高等数学多元函数问题
如图 为什么偏微分就不能像微分dx一样约掉
然后多元复合函数求导和全微分为什么教材直接告诉我们可以用偏导乘微分再叠加 这是什么原理
求详细解答 我是高中生 全是预习的 谢谢

Answer 1

这与一元函数和二元函数的定义域有关，一元函数的定义域是一段区间，dx对应x轴上的一个线段，dy与dx成线性关系，导数可以表示为dy/dx，所以能够约掉；二元函数定义域是二维的面积，函数的增量dz需要x和y联合确定，单独的∂u是没有意义的：
dz=(∂z/∂x)dx+(∂z/∂y)dy
显然z与x不是简单的线性关系，所以不能直接约掉。
题目中可以这样做的原因是u、v、w都是t的一元函数，所以：
du=(du/dt)dt
dv=(dv/dt)dt
dw=(dw/dt)dt
而三元函数遵守：
dz=(∂z/∂u)du+(∂z/∂v)dv+(∂z/∂w)dw
将du、dv、dw代入上式就得到需要的等式了。

追问

可是如果忽略y轴 z和x也有一定的关系啊 为什么偏导就没有意义

追答

z中同时含有x和y，所以z的增量由x和y两部分组成，不能单独忽略y轴；否则计算出的增量也是没有意义的。
从几何的角度来看，对于一元函数dy对应一个线段，相对于dx是可以成比例的；对于二元函数dz对应一个面积，单纯以dx或dy线段是无法表示这个面积的。

追问

谢谢