Question

已知函数fx=(ax-a+2)e∧x,其中a属于r,求fx在[0,2]上的最值

Answer 1

fx=(ax-a+2)e^x
f'(x)=ae^x+(ax-a+2)e^x=(ax+2)e^x
驻点x₀=-2/a
f''(x)=ae^x+(ax+2)e^x
f''(-2/a)=ae^x
∴a>0 x₀是极小值点 a<0 x₀是极大值点
-2/a≤0→a≥0时 区间在极小值点右侧，f(x)单调递增
最小值=f(0)=2-a
最大值=f(2)=(a+2)e²
-2/a>2→-1<a<0时 区间在极大值点左侧，f(x)单调递增
最小值=f(0)=2-a
最大值=f(2)=(a+2)e²
当a≤-1 区间包含极大值点
最大值=-ae^(-a/2)
最小值=min[f(0),f(2)]=(a+2)e²
(a+2)e²-(2-a)=0→a=(2-2e²)/(e²+1)
∴a≤(2-2e²)/(e²+1) 最小值=(a+2)e²
(2-2e²)/(e²+1)<x≤-1 最小值=2-a