Question

一道初中数学压轴题

28（本题满分12分）
如图：矩形的顶点在坐标原点O，OA在y轴上，A点坐标为（0，3），另一边OB在x的正半轴上,点M是AC边的中点，点P是OB边上一动点,PF⊥OM，PE⊥BM，垂足分别为E、F．
（1）若四边形PEMF为矩形，求B点坐标；
（2）在（1）的条件下，求过A、M、B三点的抛物线解析式；
（3）在抛物线上是否存在一点N，使得四边形AMON是平行四边形，若存在，求出点N的坐标，若不存在，说明理由。

Answer 1

解：（1）若四边形PEMF为矩形，则∠OMB是直角
在矩形OACB中，点M是AC的中点，所以三角形OMB必是等腰直角三角形，
所以三角形OMB的中垂线=OB的一半，
因为OA=3,所以OB=6,
所以点B的坐标是（6，0）
（2）设抛物线解析式是y=ax^2+bx+c
点A,M的坐标是（0，3），（3，3）
所以代入抛物线解析式，得
c=3,b=-3a (1)
把点B代入抛物线解析式，得
36a+6b+3=0 (2)
联立（1），（2）解方程组，得
a=-1/6,b=1/2,c=3
所以抛物线解析式是y=-1/6x^2+1/2x+3
(3)若点N存在，必在x轴上，于是令y=0,得
-1/6x^2+1/2x+3=0
解之，得下 x=6,x=-3,
显然当点N的坐标是（-3，0）时，四边形AMON是平行四边形。

Answer 2

2007
青岛的中考的把
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Answer 3

翻折变换(折叠问题);(2012年天津的中考题)
坐标与图形性质;全等三角形的判定与性质;勾股定理;相似三角形的判定与性质.
专题:几何综合题.
分析:(Ⅰ)根据题意得，∠OBP=90°，OB=6，在Rt△OBP中，由∠BOP=30°，BP=t，得OP=2t，然后利用勾股定理，即可得方程，解此方程即可求得答案;
(Ⅱ)由△OB′P、△QC′P分别是由△OBP、△QCP折叠得到的，可知△OB′P≌△OBP，△QC′P≌△QCP，易证得△OBP∽△PCQ，然后由相似三角形的对应边成比例，即可求得答案;
(Ⅲ)首先过点P作PE⊥OA于E，易证得△PC′E∽△C′QA，由勾股定理可求得C′Q的长，然后利用相似三角形的对应边成比例与m=1
6
t2-11
6
t+6，即可求得t的值.解答:解:(Ⅰ)根据题意，∠OBP=90°，OB=6，
在Rt△OBP中，由∠BOP=30°，BP=t，得OP=2t.
∵OP2=OB2+BP2，
即(2t)2=62+t2，
解得:t1=2
3
，t2=-2
3
(舍去).
∴点P的坐标为(2
3
，6).
(Ⅱ)∵△OB′P、△QC′P分别是由△OBP、△QCP折叠得到的，
∴△OB′P≌△OBP，△QC′P≌△QCP，
∴∠OPB′=∠OPB，∠QPC′=∠QPC，
∵∠OPB′+∠OPB+∠QPC′+∠QPC=180°，
∴∠OPB+∠QPC=90°，
∵∠BOP+∠OPB=90°，
∴∠BOP=∠CPQ.
又∵∠OBP=∠C=90°，
∴△OBP∽△PCQ，
∴OB
PC
=BP
CQ
，
由题意设BP=t，AQ=m，BC=11，AC=6，则PC=11-t，CQ=6-m.
∴6
11-t
=t
6-m
.
∴m=1
6
t2-11
6
t+6(0＜t＜11).
(Ⅲ)过点P作PE⊥OA于E，
∴∠PEA=∠QAC′=90°，
∴∠PC′E+∠EPC′=90°，
∵∠PC′E+∠QC′A=90°，
∴∠EPC′=∠QC′A，
∴△PC′E∽△C′QA，
∴PE
AC′
=PC′
C′Q
，
∵PC′=PC=11-t，PE=OB=6，AQ=m，C′Q=CQ=6-m，
∴AC′=
C′Q2-AQ2
=
36-12m
，
∴6
36-12m
=11-t
6-m
，
∵m=1
6
t2-11
6
t+6，
解得:t1=11-
13
3
，t2=11+
13
3
，
点P的坐标为(11-
13
3
，6)或(11+
13
3
，6).
点评:此题考查了折叠的性质、矩形的性质以及相似三角形的判定与性质等知识.此题难度较大，注意掌握折叠前后图形的对应关系，注意数形结合思想与方程思想的应用.希望采纳