Question

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AD，BE,CF是三角形ABC的三条高，证明AD,BE,CF必定相交于一点，即垂心
提示：过A,B,C分别做对边的平行线，说明三条高所在的直线是新三角形三边上的垂直平分线
我的等级图传不上来
原题在九年级下册华东师大版数学书第86页C组第9题，谢谢哈
刚刚升了一级，图在这
有点不清楚，但应该可以看

Answer 1

解：三角形ABC中，AC、AB上的高BE和CF交于O点，连接并延长AO交BC于D，只需证AD为高即可。
因为角BEC，角CFB均为直角，所以B、C、F、E四点共圆，记为圆BCFE，
由切割线定理知:AF*AB = AE*AC (4)
分别记直角三角形BOF,COE的外接圆为圆BOF，圆COE，
下面只需证明角BDA＝90度即可，
反证：若角BDA小于90度，则角CDA大于90度，因BO，CO分别为圆BOF，圆COE的直径，所以点D在圆BOF外，在圆COE内，由切割线定理推论
AO*AD>AF*AB （点D在圆BOF外）
AO*AD<AE*AC （点D在圆COE内）
结合(4),得出矛盾，故角BDA不小于90度。
同理可证角BDA也不大于90度。
故角BDA＝90度。即AD为高。

Answer 2

过A,B,C分别做对边的平行线组成新的三角形GHI(点G在A,B间,点H在B,C间,点I在C,A间）
因为AB平行于IC,AI平行于BC 所以四边形ABCI为平行四边形 所以AB等于CI
同理可证AB等于CH 所以CH等于CI
因为AB平行于CI 所以角BAC等于角ACI
因为角CFA等于90度 所以角BAC加上角ACF等于90度
又因为角BAC等于角ACI 所以角ACI加上角ACF等于90度 所以FC垂直于HI
又因为CH等于CI 所以FC垂直平分HI
同理可证DA垂直平分GI，EB垂直平分GH
所以DA,EB,FC交于一点

也可用塞瓦定理证

Answer 3

已知：ΔABC中，AD、BE是两条高，AD、BE交于点连接CO并延长交AB于点F
求证：CF⊥AB
证明：
连接DE
∵∠ADB=∠AEB=90度
∴A、B、C、D到AB中点距离相等
∴A、B、D、E四点共圆 （以AB为直径的圆）
同理C、D、O、E到OC中点距离相等
∴C、D、O、E四点共圆 （以OC为直径的圆）
∴∠ACF=∠ADE=∠ABE
又∵∠ABE+∠BAC=90度
∴∠ACF+∠BAC=90度
∴CF⊥AB
因此，垂心定理成立！

Answer 4

因为垂直且平行，易得内错角相等，即直角，又利用ASA证明各小三角形全等故各为大三角形边上的垂直平分线，故交于一点且为大三角形的外接圆

Answer 5

塞瓦定理