Question

已知双曲线x²/a²-y²/b²=1（a＞0，b＞0）被方向向量k=（6，6）

的直线截得的弦的中点为（4，1），则该双曲线离心率的取值是 A.√5/2 B.√6/2 C.√10/3 D.2

Answer 1

设直线与双曲线的两个交点分别为 A（x1，y1），B（x2，y2），
则 x1^2/a^2-y1^2/b^2=1 ，x2^2/a^2-y2^2/b^2=1 ，
相减得 (x2+x1)(x2-x1)/a^2-(y2+y1)(y2-y1)/b^2=0 ，
由于 AB 中点为（4，1），因此 x1+x2=8，y1+y2=2 ，
代入可得 8(x2-x1)/a^2-2(y2-y1)b^2=0 ，
解得 (y2-y1)/(x2-x1)=4b^2/a^2 ，即 kAB=4b^2/a^2 ，
而直线方向向量为 （6，6），因此直线斜率为 k=6/6=1 ，
所以 4b^2/a^2=1 ，
因此 e^2=c^2/a^2=(a^2+b^2)/a^2=1+b^2/a^2=1+1/4=5/4 ，
解得 e=√5/2 。

选 A 。