Question

双曲线离心率的问题

1双曲线（标准的）两条渐进性与实轴的夹角为m 而离心率e∈【根号2，2】则m的取值范围
2F1 F2是双曲线（标准）的焦点 过F1且垂直于X轴的直线与双曲线交AB两点 若△ABF2为锐角三角形 则双曲线的离心率e的范围是

Answer 1

1.√2≤e≤2
<=>√2≤c/a≤2
<=>2≤c^/a^≤4
<=>2-1≤c^/a^ -1≤4-1
<=>1≤b^/a^≤3
<=>1≤b/a≤√3

当b/a=1时，双曲线的两条渐近线是：y=±x，易判断两者之间的夹角为90°；
当b/a=√3时，双曲线的渐近线是：y=±√3x，倾斜角分别为60°，120°，∴两盒夹角为60°(注意要取小于等于90°的那一侧，而不能取钝角！）

因此，m的取值范围就是[60°，90°]

2.由双曲线性质可知，必有|AF1|=|BF1|,|F1F2|⊥|AB|
∴|AF2|=|BF2|，
要想使等腰△ABF2成为锐角三角形，只要其顶角∠AF2B为锐角即可
而|F1F2|必平分∠AF2B，∴只需使∠AF2F1＜45°即可
即：tan∠AF2F1=|AF1|/|F1F2|<1
<=>|AF1|<|F1F2|
显然,|F1F2|=2c
∴|AF1|<2c ①
根据双曲线定义，可知：||AF1|-|AF2||=2a
由图可知：|AF1|<|AF2|
∴有|AF2|=|AF1|+2a
在Rt△AF2F1中，由勾股定理：
|AF2|^=|AF1|^+|F1F2|^
代入|AF2|=2a+|AF1|,|F1F2|=2c，可得到：
|AF1|=(c^-a^)/a
将将其带入不等式①中：
(c^-a^)/a<2c
令e=c/a，c=ae，代入可得：
e^-2e-1<0
<=>e<√2+1
∴双曲线离心率范围是:(1,√2+1)

Answer 2

y^2/a^2-X^2/b^2=1渐近线为y=±ax/b
先考虑y^2/a^2-X^2/b^2=1渐近线y=ax/b与抛物线y=x^2+1相切时情况
联立y=ax/b与y=x^2+1解得:x={a/b±√[(a/b)^2-4]}/2
即交点横坐标为x={a/b±√[(a/b)^2-4]}/2
对y=x^2+1两边x求导，y‘=2x
因为双曲线y^2/a^2-X^2/b^2=1(a>0,b>0)的渐近线与抛物线y=x^2+1相切，
所以交点处y=x^2+1斜率与y=ax/b斜率相等，即:{a/b±√[(a/b)^2-4]}=a/b，
从而a/b=2，a=2b，c^2=a^2+b^2=5b^2，c=√5b
双曲线的离心率e=c/a=√5b/2b=√5/2。
y^2/a^2-X^2/b^2=1渐近线y=-ax/b与抛物线y=x^2+1相切时也可算出双曲线的离心率e=√5/2。