Question

已知数列{an}的前n项和Sn=n^2(n∈N),数列{bn}是各项均为正数的等比数列，

已知数列{an}的前n项和Sn=n^2(n∈N),数列{bn}是各项均为正数的等比数列，b3=1,b5=16,
(1)求an,bn的通项公式
(2)设cn=anbn,求数列cn的前n项和Tn
a1 = S1 = 1
an = Sn-S(n-1) = n^2-(n-1)^2 = 2n-1

b3=1, b5=16
所以 q^2 = b5/b3 = 16
因为 bn各项为正
所以 q>0
所以 q=4
所以 a1 = a3/q^2 = 1/16 = 4^(-2)
所以 bn = 4^(n-3)

cn=an*bn
Tn=1*4^(-2) +3*4^(-1) +5*4^0 +7*4^1 +9*4^2 +...+(2n-1)*4^(n-3)
4Tn=1*4^(-1) +3*4^0 +5*4^1 +7*4^2 +9*4^3 +...+(2n-1)*4^(n-2)
两式相减：3Tn=-1/16 -2*4^(-1) -2*4^0 -2*4^1 -2*4^2 -...-2*4^(n-3) +(2n-1)*4^(n-2)
3Tn=-1/16 +(1/6)*[1-4^(n-1)] +(2n-1)*4^(n-2)
3Tn=-1/16 +1/6 -(2/3)*4^(n-2) +(2n-1)*4^(n-2)
3Tn=5/48 +(2n -5/3)*4^(n-2)
Tn=5/144 +(2n/3 -5/9)*4^(n-2)

3Tn=-1/16 +(1/6)*[1-4^(n-1)] +(2n-1)*4^(n-2)
是怎么算的？

Answer 1

就是求出这一部分
-2*4^(-1) -2*4^0 -2*4^1 -2*4^2 -...-2*4^(n-3)

这里4的次数从-1到n-3
所以一共(n-3)-(-1)+1=n-1项
他是一个等比数列的和
首项是-2*4^(-1) ,q=4,n-1项

所以和=-2*4^(-1)*[1-4^(n-1)]/(1-4)
=-(1/2)*[1-4^(n-1)]/(-3)
=1/6*[1-4^(n-1)]