Question

已知a,b,c,d属于R,且a＋b=c＋d=1,ac＋bd＞1求证a,b,c,d中至少有一个数是负

已知a,b,c,d属于R,且a＋b=c＋d=1,ac＋bd＞1求证a,b,c,d中至少有一个数是负数

Answer 1

【证明】假设a,b,c,d都是非负数,因为a+b=c+d=1,

所以a,b,c,d∈[0,1],

这与已知ac+bd>1相矛盾,所以原假设不成立,即证得a,b,c,d中至少有一个是负数.

方法二:

也是用反证法：
假设abcd没有一个负数 
又因为a+b=1.c+d=1 
所以abcd都大于等于0小于等于1 
则a=1-b,c=1-d 
ac+bd=(1-b)(1-d)+bd=1-b-d+2bd>1 
b(d-1)+d(b-1)>0 
因为0≤d≤1,0≤b≤1 
所以-1≤d-1≤0,-1≤b-1≤0 
而b≥0,d≥0 
所以b(d-1)≤0,d(b-1)≤0 

方法反证三：

证明：假设a、b、c、d都是非负数，
∵a+b=c+d=1，
∴（a+b）（c+d）=1．
∴ac+bd+bc+ad=1≥ac+bd．
这与ac+bd＞1矛盾．
所以假设不成立，即a、b、c、d中至少有一个负数．

Answer 2

∵ a+b=c+d=1
∴ (a+b)(c+d)=1
ac+bd=1-(bc+ad)
又∵ ac+bd>1
∴ bc+ad<0
∴ a.b.c.d中至少有一个是负数

Answer 3

不妨设a,b都非负。
由a＋b=c＋d=1,得b=1-a,d=1-c,
代入ac＋bd＞1，得2ac-a-c>0,①
若a,b之一为0，不妨设a=0,则c<0；
若0<a<1,由①，(2a-1)c>a,2a-1>0,a>1/2,
c>a/(2a-1)=1/2+1/(4a-2)>1,d<0。
所以命题成立。

Answer 4

引用003三剑客的回答：
【证明】假设a,b,c,d都是非负数,因为a+b=c+d=1,
所以a,b,c,d∈[0,1],

这与已知ac+bd>1相矛盾,所以原假设不成立,即证得a,b,c,d中至少有一个是负数.
方法二:
也是用反证法：假设abcd没有一个负数 又因为a+b=1.c+d=1 所以abcd都大于等于0小于等于1 则a=1-b,c=1-d ac+bd=(1-b)(1-d)+bd=1-b-d+2bd>1 b(d-1)+d(b-1)>0 因为0≤d≤1,0≤b≤1 所以-1≤d-1≤0,-1≤b-1≤0 而b≥0,d≥0 所以b(d-1)≤0,d(b-1)≤0
方法反证三：
证明：假设a、b、c、d都是非负数，∵a+b=c+d=1，∴（a+b）（c+d）=1．∴ac+bd+bc+ad=1≥ac+bd．这与ac+bd＞1矛盾．所以假设不成立，即a、b、c、d中至少有一个负数．

方法一错了