Question

F1 F2是双曲线x^2/a^2-y^2/b^2＝1的左右两个焦点，过点F1作垂直于x轴的直线与双

F1 F2是双曲线x^2/a^2-y^2/b^2＝1的左右两个焦点，过点F1作垂直于x轴的直线与双曲线的渐近线交于AB两点，若三角形ABF2是锐角三角形，求离心率取值范围

Answer 1

解：这道题是一个三等分角问题。如果会三等分角，就很容易解这道题。见下图。            

设PF2交y轴于A，连结F1A并延长交双曲线于Q，作则∠PQF1= ∠AF1F=∠AF2F=∠PF1A/2；且PF1=AF1=AF2（我做三等分角得出的结论，尺规作图任意角可以n等分，相信你会看到的）；在此我可以简单解释一下，以P为圆心，以PF1为半径做圆，交于A点且AQ=PF1 时，∠PF1O被三等分；也很容易证明：因为PF1=PA=AQ，所以△PF1A和△APQ都是等腰三角形；则∠PF1A=∠PAF1（等腰三角形底角相等）=∠AQP+∠APQ（外角定理）=2∠AF1F2（内错角）。三等分角证毕。因为|PF1-PF2|=2a，即AF1=2a，F1F2=2C；则有：AO^2=(2a)^2-C^2=4a^2-c^2=3a^2-b^2; F1Q直线满足k=tana=AO/AF1=√(3a^2-b^2)/(2a)，F1Q的直线方程为: y=√(3a^2-b^2)x/(2a)-c, 当y=0时，0=AO^2/2a-c, 则：2ac-3a^2+b^2=2ac-4a^+c^2=(a+c)^2-5a^2=0; a+c=√5a, c=(√5-1)a, e=c/a=√5-1。（解题过程应该没有问题，只是计算过程容易出错）

Answer 2

根据双曲线定义
∴|AF2|-|AF1|=2a ①
|BF1|-|BF2|=2a ②
∵ABF2是等边三角形
|AB|= |AF2|=|BF2| ③
①+②:|BF1|-|AF1|=4a
即|AB|= |AF2|=|BF2|=4a
∴|BF1|=6a
∵∠F1BF2=60º
根据余弦定理
|F1F2|²=|BF1|²+|BF2|²-2|BF1||BF2|cos60º
∴4c²=28a²
∴e²=c²/a²=7
∴e=√7
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