Question

已知点F1，F2分别是双曲线x2a2-y2b2=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过F1且垂直于x轴的直线与双曲线交于A

已知点F1，F2分别是双曲线x2a2-y2b2=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过F1且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若△ABF2是钝角三角形，则该双曲线离心率的取值范围是(1+2，+∞)(1+2，+∞)．

Answer 1

根据题意，可得|AB|=

2b2

a

，|F₁F₂|=2c，
由双曲线的对称性，可知△ABF₂为等腰三角形，
只要∠AF₂B为钝角，即|AF₁|＞|F₁F₂|即可．
∴不等式

b2

a

＞2c，化简得c²-a²＞2ac，
两边都除以a²，可得e²+2e-1＞0
解之得e∈(1+

2

，+∞)，负值舍去．
故答案为：(1+

2

，+∞)