Question

如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=6,BC=8,D、E分别是AC、AB的中点,连接DE,点P

从D出发,沿DE方向匀速运动，速度为1cm/s，同时，点Q从B出发，沿BA方向匀速运动，速度为2cm/s，当点P停止运动时，点Q也停止运动，连接PQ，设运动时间为t（0＜t＜4）s，解答下列问题1、当t为何值时，PQ⊥AB？2、当点Q在B、E之间运动时，设五边形PQBCD的面积为ycm²，求y与t之间的函数关系式3、在2、的情况下，是否存在一时刻t，使得PQ分四边形BCDE所成的两部分的面积之比为S△PQE∶S五边形PQBCD=1∶29？若存在，求出此时t的值以及点E到PQ的距离h；若不存在，请说明理由

Answer 1

1)解析：∵⊿ABC中，∠C=90度，
AC=6cm，BC=8cm，D、E分别是
AC、AB的中点
∴AB=10cm，DE//BC，DE=4cm
∴tan∠BAC=4/3,cos∠BAC=3/5,
sin∠BAC=4/5
设在直角坐标系中，A(0,0),B
(10,0),C(ACcos∠BAC,ACsin
∠BAC)=C(3.6,4.8)
D(1.8,2.4),E(5,0)
∵点P从点D出发，沿DE方向 向E运
动，v=1cm/s；同时，点Q从点B出
发，沿BA方向匀速运动，v=2cm/s，
当点P停止运动时，点Q也停止运动
设运动时间为t（0<=t<=4）
过D作DF⊥AB交AB于F
∴∠FDE=∠DAE=∠BAC
∴P(1.8+tsin∠BAC,2.4-
tcos∠BAC)=P(1.8+4/5t,2.4-3/5t)
Q(10-2t,0)
当PQ垂直AB时，
1.8+4/5t=10-2t==>t=41/14
∴当t=41/14秒时，PQ垂直AB
(2)解析：当点Q在B、E之间运动时
五边形PQBCD的面积=y=S(DEBC)-S
(⊿PEQ)
S(DEBC)=(DE+BC)*CD/2=
(4+8)*3/2=18
S(⊿PEQ)=1/2EQ*y(P)=1/2*(5-2t)*
(2.4-3/5t)=0.6t^2-3.9t+6
∴Y与T之间的函数关系式为：
Y=-0.6t^2+3.9t+12（0<=t<=2.5）
(3)解析：∵PQ分四边形BCDE所成的
两部分的面积之比为S(⊿PEQ)：S
(PQBCD)=1：29
∴29*(0.6t^2-3.9t+6)= -0.6t^2+3.9t
+12
18t^2-117t
+162=0==>t1=2,t2=162/36>2.5(舍)
∴t=2
当t=2时，P(3.4,1.2)，Q(6,0)
直线PQ斜率k=1.2/(3.4-6)=-6/13
方程：y=-6/13(x-6)==>6x
+13y-36=0
∵E(5,0)
∴点E到了直线PQ的距离为
H=|6*5+13*0-36|/√
(36+169)=6√205/205
∴此时t=2,点E到PQ的距离
H=6√205/205