Question

定义域为R的偶函数f（x）满足对∀x∈R，有f(x+2)=f(x)-f(1)

定义域为R的偶函数f（x）满足对∀x∈R，有f(x+2)=f(x)-f(1)，
且当x∈[2,3]时，f(x)=-2x²+12x-18，若函数y=f(x)-log以a为底（lxl+1)在(0,+∞)上至少有3个零点，则求a的取值范围

Answer 1

f(x)为偶函数，f(1)=f(-1+2)=f(-1)-f(1)=f(1)-f(1)=0，

所以f(x+2)=f(x)，f(x)是周期函数，

x∈[2，3]时，f(x)=-2x²+12x-18=-2(x-3)²，

f(2)=-2(2-3)²=-2，f(3)=-2(3-3)²=0【=f(1)-f(1)=f(1+2)】

x∈[0，1]时，f(x)=-2(x-1)²

函数y=f(x)-log以a为底（lxl+1)在(0,+∞)上至少有3个零点，

即y=f(x)和y=log(a)(|X|+1)的图像在(0,+∞)上至少有3个交点

当x=0时，log(a)(|X|+1)=0，

因为f(x)≤0恒成立，所以0<a<1，y=log(a)(|X|+1)在(0,+∞)上应是减函数，

且x∈[2，3]时，log(a)(|X|+1)∈[-2，0]

亦即x=2时，log(a)(|X|+1)>-2

因为0<a<1，所以3<a^(-2)，0<a<√3/3