已知：如图，▱ABCD中，AD=3cm，CD=1cm，∠B=45°，点P从点A出发，沿AD方向匀速
郭敦顒回答：
（1）∵AB∥CD，∴AM∥QD，当t=0.5s时，
AP=1.5 cm=AD/2=DP，（CD=0.5cm=CD/2，）
在△PAM与△PDQ中，∠APM=∠DPQ（对顶角），AP=DP，∠PAM=∠PDQ（平行则内错角相等），
∴△PAM≌△PDQ，
∴AM=QD，又∵AM∥QD，
∴当t=0.5s时，四边形AQDM为平行四边形。
（2）设四边形ANPM的面积y（cm²），求y与t的函数关系式，
平行四边形ABCD的高h=EN=（1/2）√2（cm），
在△APM中，AP上的高h1=ME= [（1/2）√2] AM，
AM=ME/[（1/2）√2]= ME√2， AM=ME√3。
在△ACD中，CQ/AP=QD/PD=CD/AD=1/3，
∴PQ∥AC，∴ACQM为平行四边形，AM=CQ，
DQ=1－CQ=1－AM，
∵△APM∽△DPQ，∴AM/DQ=AP/DP，AP=t，
AM/（1－AM）=AP/（3－AP）=t/（3－t），
∴AM（3－t）=t（1－AM），
∴3AM=t，∴t =3AM=3ME√3，ME= t/（3√3）
四边形ANPM的面积=y=S△ANP+S△APM= [（1/2）√2] t/2+[ t/（3√3）] t/2
= [（1/4）√2] t+[（3/2）√3] t²
（3）平行四边形ABCD的面积=3×[（1/2）√2]= （3/2）√2
∴四边形ANPM的面积/2=y/2
= {[（1/4）√2] t+[（3/2）√3] t²}/2=[（3/2）√2]/2，
∴[3√3] t²+（√2）t－3√2=0，
∴t1=－（1/9）√6+0.9138=－0.2722+0.9138=0.6416，
t2=－（1/9）√6－0.9036不符合要求，舍去）
∴当t=0.6416s时，四边形ANPM的面积等于平行四边形ABCD面积的一半。
（4）设NP与AC的交点为F，当t为何值时，有AF：CF=2：1（或CF：AF =2：1）？
如果AF：CF=2：1（或CF：AF =2：1）成立，则
∵ΔAFP∽ΔCNF，AF/CF=AP/CN=2/1，
设AP=2（cm），CN=1（cm），t=2/3（s），那么
BN=BC－CN=3－1=2（cm），MN=2（cm），BM=√（2²+2²）=2√2，
AM=BM－AB=2√2－1=1.828，则t=1.828，但t≤1，t=2/3（s），矛盾；
设AP=1（cm），CN=2（cm），t=1/3（s），那么
BN=BC－CN=3－2=1（cm），MN=1（cm），BM=√（1²+1²）=√2，
AM=BM－AB=√2－1=0.414，则t=0.414，但t=1/3（s），矛盾。
∴不存在时间t，使得AF：CF=2：1（或CF：AF =2：1）。
M
A E P D
F
Q
B N C
