Question

奥数题求解

（1000*1001*1002*1003……2013*2014）÷（11的m次方）结果是整数，求m的最大值？请大家给出详细解答过程。谢谢

Answer 1

1000/11=90.9,2014/11=183.09,从这两个式子可以看出从91到183任意取一整数和11相乘都在1000到2014之间。所以可以先分出183-91+1=93个“11”，然91=8.2x11,183=16.7x11，即8.2到16.7之间只有9、10、11、12、13、14、15、16这8个数和11相乘才得整数，又因为11x11=121也在其中，所以共有9个11。所以一种是102个11，即m最大为102。

Answer 2

因为11是质数，所以要使原式结果为整数，则被除数的质因数分解中至少要有m个11
因为要求m的最大值，所以m=被除数的质因数分解中11的个数
从1000~2014这1015个数中，质因数含11的数最小为1001，最大为2013
所以质因数含11的数共有(2013-1001)÷11+1=93个
质因数含(11的平方)的数最小为1089，最大为1936
所以质因数含(11的平方)的数共有(1936-1089)÷(11的平方)+1=8个
质因数含(11的立方)的数只有一个，为1331
综上所述，m=93×1+8×2+1×3=112

追问

结果是116，不过你的解释很详细了。

追答

嗯，我的答案有点问题，因为质因数含11的93个数中，也包含了质因数含11的平方及11的立方的数