Question

如图1，在正方形ABCD中，BD是对角线，点E在BD上，△BEG是等腰直角三角形， 2013-07

如图1，在正方形ABCD中，BD是对角线，点E在BD上，△BEG是等腰直角三角形，

2013-07-07 初中数学

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且∠BEG=90°，点F是DG的中点，连结EF与CF （1）求证：EF=CF；
（2）求证：EF⊥CF；
（3）如图2，若等腰直角三角形△BEG绕点B按顺时针旋转45°，其他条件不变，请判断△CEF的形状，并证明你的结论．

Answer 1

证明：延长EF，使FM=EF，连接DM ,CM ,CE
因为四边形ABCD是正方形
所以角BDC=角CBE=45度
角BCD=90度
BC=DC
因为F是DG的中点
所以DF=GF
因为角DFM=角GFE（对顶角相等）
所以三角形DFM和三角形GFE全等（SAS)
所以GE=DM
角BEF=角DMF
所以GE平行DM
所以角DEG+角EDM=180度
因为三角形BEG是等腰直角三角形
所以BE=BE
角BEG=90度
因为角BEG+角DEG=180度
所以角DEG=90度
所以角EDM=90度
因为角EDM=角BDC+角CDM=90度
所以角CDM=90-45=45度
所以角CBE=角CDM
BE=DM
所以三角形CBE和三角形CDM全等（SAS)
所以CE=CM
角BCE=角DCM
因为角BCD=角BCE+角DCE=90度
角ECM=角DCE+角DCM
所以角ECM=90度
所以三角形ECM是等腰直角三角形
因为EF=MF
所以CF是的等腰直角三角形ECM的中线，垂线
(1)所以EF=CF
(2)EF垂直CF
(3)三角形CEF是等腰直角三角形
证明：延长EF交DC于N
因为等腰直角三角形BEG绕点B顺时针旋转45度
所以角BEG=90度
BE=BE
因为四边形ABCD是正方形
所以BC=DC
角BCD=90度
因为角BEG+角CEG=180度
所以角CEG=90度
所以角CEG=角BCD=90度
所以GE平行DC
所以角FGE=角FDC
角EG=角FND
因为F是DG的中点
所以DF=GF
所以三角形DFN和三角形GFE全等（AAS)
所以GE=DN
EF=NF
所以CF是三角形ECN的中线
所以BE=DN
因为BC=BE+CE
DC=DN+CN
所以CE=CN
因为角BCD=90度（已证）
所以三角形ECN等腰直角三角形
所以CF是等腰直角三角形ECM的中线，垂线
所以EF=CF
EF垂直CF
所以角EFC=90度
所以三角形CEF是等腰直角三角形