Question

已知函数f(x)=x^3+ax^2+bx+4(x∈R）在x=2处取得极小值

（1）若函数f(x)的极小值是-4，求f(x)
(2)若函数f(x)的极小值不小于-6，问：是否存在实数k与函数f(x),使得函数f(x)在[k,k+3]上单调递减，若存在，求出k的取值集合与f(x);若不存在，说明理由。

Answer 1

1 导数=0的解。组成方程：-4=f（2)=x^3+ax^2+bx+4;与F（2）=3x^2+2ax+b=0
解得：a=-2，b=-4
则f(x)=x^3-2x^2-4x+4
2.f(2）>6和F（2)=0的a<-3/2,b>-6.
又因为，fx的单调区间在：（-2-2a/3，2）之间。范围：4+2a/3 <3
假设存在点k使得函数f(x)在[k,k+3]上单调递减则设x1，x2在[k,k+3]上并且x1<x2，
f(x1)-f(x2)>0 ， 则k+3=2 可 k=-1.

Answer 2

a=-2,b=-4