已知2^a*5^b=2^c*5^d=10，求证：（a-1）（d-1）=（b-1）（c-1）
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2013-11-16 · 知道合伙人教育行家
无脚鸟╰(⇀‸↼)╯
知道合伙人教育行家
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现在为上海海事大学学生，在学习上有一定的经验，擅长数学。
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证明：
∵2^a•5^b=10=2×5，
∴2^(a-1)•5^(b-1)=1，
∴[2^(a-1)•5^(b-1)]^(d-1)=1^(d-1)，①
同理可证：[2^(c-1)•5^(d-1)]^(b-1)=1^(b-1)，②
由①②两式得
[2^(a-1)•5^(b-1)]^(d-1)=[2^(c-1)•5^(d-1)]^(b-1)，
2^[(a-1)(d-1)]×5^[(b-1)(d-1)]=2^[(b-1)(c-1)]×5^[(b-1)(d-1)]
2^[(a-1)(d-1)]=2^[(b-1)(c-1)]
∴（a-1）（d-1）=（b-1）（c-1）．
∵2^a•5^b=10=2×5，
∴2^(a-1)•5^(b-1)=1，
∴[2^(a-1)•5^(b-1)]^(d-1)=1^(d-1)，①
同理可证：[2^(c-1)•5^(d-1)]^(b-1)=1^(b-1)，②
由①②两式得
[2^(a-1)•5^(b-1)]^(d-1)=[2^(c-1)•5^(d-1)]^(b-1)，
2^[(a-1)(d-1)]×5^[(b-1)(d-1)]=2^[(b-1)(c-1)]×5^[(b-1)(d-1)]
2^[(a-1)(d-1)]=2^[(b-1)(c-1)]
∴（a-1）（d-1）=（b-1）（c-1）．
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由2^a*5^b=2^c*5^d=10得
2^（a-1）*5^（b-1）=2^（c-1）*5^（d-1）=1
取对数得
ln[2^（a-1）*5^（b-1）]=（a-1）ln2+（b-1）ln5=0
即（a-1）ln2=-（b-1）ln5（1）
ln[2^（c-1）*5^（d-1）]=（c-1）ln2+（d-1）ln5=0
即（c-1）ln2=-（d-1）ln5（2）
由（1）（2）联立得证
2^（a-1）*5^（b-1）=2^（c-1）*5^（d-1）=1
取对数得
ln[2^（a-1）*5^（b-1）]=（a-1）ln2+（b-1）ln5=0
即（a-1）ln2=-（b-1）ln5（1）
ln[2^（c-1）*5^（d-1）]=（c-1）ln2+（d-1）ln5=0
即（c-1）ln2=-（d-1）ln5（2）
由（1）（2）联立得证
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2^a×5^b=2^c×5^d=10
除以10
2^a×5^b/10=2^c×5^d/10=1
(2^a/2)×(5^b/5)=(2^c/2)×(5^d/5)=1
2^(a-1)×5^(b-1)=2^(c-1)×5^(d-1)=1
取对数
(a-1)lg2+(b-1)lg5=(c-1)lg2+(d-1)lg5=0
(a-1)lg2+(b-1)lg5=0
lg2/lg5=-(b-1)/(a-1)
=(c-1)lg2+(d-1)lg5=0
lg2/lg5=-(d-1)/(c-1)
所以-(b-1)/(a-1)=-(d-1)/(c-1)
(a-1)(d-1)=(b-1)(c-1)
除以10
2^a×5^b/10=2^c×5^d/10=1
(2^a/2)×(5^b/5)=(2^c/2)×(5^d/5)=1
2^(a-1)×5^(b-1)=2^(c-1)×5^(d-1)=1
取对数
(a-1)lg2+(b-1)lg5=(c-1)lg2+(d-1)lg5=0
(a-1)lg2+(b-1)lg5=0
lg2/lg5=-(b-1)/(a-1)
=(c-1)lg2+(d-1)lg5=0
lg2/lg5=-(d-1)/(c-1)
所以-(b-1)/(a-1)=-(d-1)/(c-1)
(a-1)(d-1)=(b-1)(c-1)
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