Question

数学题（求解题过程）

在长方体ABCD-A1B1C1D1中,DC=2DD1,E,F分别为棱C1D1,BD的中点.（Ⅰ）求证：EF平行BCC1;
(2)求证面ADE垂直面BCE.

Answer 1

证：（1）取CD中点G 连结EG ，FG
则EG//BCC1
又FG是三角形BCD中位线 所以FG//BC 所以FG//BCC1
所以平面EFG//平面BCC1 所以EF//BCC1

(2)因为BC垂直CD ， CC1垂直CD 所以BC垂直平面CDD1C1 所以BC垂直DE
因为DC=2DD1 DE=CE=“根号2”DD1 所以DE垂直CE
所以DE垂直平面BCE
所以平面ADE垂直平面BCE

Answer 2

(1)连接AC交BD于点G，连接FG。因为长方体，所以ABCD为长方形，所以G是AC中点，又因为F是CE中点，因此FG是三角形ACE的中位线，所以AE∥FG，又因为FG属于面BDF，所以AE∥面BDF。
（2）过D做DM⊥CE，交CE于点M。因为DM⊥CE，可求得CM=√5/5CD。因为CD=CC1=√5/2CD，所以CM=1/2CE，即M与F重合，即DF⊥CE。又因为BC⊥面CDD1C1，所以BC⊥DF。所以DF⊥面BCE。所以面BDF⊥面BCE。

Answer 3

(1)取BC中点G，连接GC1、FG，
∵EC1‖=FG
∴四边形EFGC1是平行四边形
∴EF‖GC1
∴EF‖面BCC1
(2)DD1=D1E，∴∠DED1=45º，同理∠CEC1=45º
∴DE⊥CE
又AD⊥面DCC1D1∴AD⊥CE
AD∩DE=D，∴DE⊥面BCE
∴面ADE⊥面BCE