Question

已知抛物线y=ax²+bx+c经过点（1，2）.

已知抛物线y=ax²+bx+c经过点（1，2）. （1）若a=1，抛物线顶点为A，它与x轴交于两点B，C，且△ABC为等边三角形，求b的值

Answer 1

答：

a=1，y=ax²+bx+c=x²+bx+c经过点（1,2）：
1+b+c=2
所以：b+c=1，c=1-b
y=x²+bx+1-b
y=(x+b/2)²+1-b-b²/4
抛物线顶点A（-b/2，1-b-b²/4），与x轴交点为B(x1,0）和C（x2,0）
根据韦达定理有：
x1+x2=-b
x1*x2=1-b
所以：
(x1-x2)^2
=(x1+x2)^2-4x1*x2
=b^2-4(1-b)
=b^2+4b-4
所以：BC^2=b^2+4b-4

因为：三角形ABC是等边三角形
所以：AB=AC=BC
因为：点A到BC的高即为点A的纵坐标的绝对值
所以：|1-b-b²/4| =(√3/2)*BC
所以：(b²+4b-4)/4=(√3/2)*√(b^2+4b-4)>0
所以：√(b^2+4b-4)=2√3
所以：b^2+4b-4=12
所以：b^2+4b+4=20
解得：b=-2-2√5或者b=-2+2√5